Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

9 - Para cada equação determine d y d x .

e) y 2 = x - 1 x + 1

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma equação y 2 = x - 1 x + 1 e a partir dela temos que calcular a derivada d y d x .

A ideia aqui é calcular essa derivada a partir do método de derivada implícita!

Lembra como calculamos dessa forma? 🤔

Existe uma formulinha para a derivada implícita que é dada por

d y d x = - f x f y

Mas antes de aplicar essa derivada, temos que fazer alguns ajustes na nossa equação e transformá-la em uma função...

Pronto? Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos passar todos os termos da equação para um lado só

y 2 = x - 1 x + 1

x - 1 x + 1 - y 2 = 0

Assim, considerando uma função como f x , y = 0 , temos que

f x , y = x - 1 x + 1 - y 2

Agora sim podemos começar nossas derivadas!

Primeiro derivando com relação a x , temos

f x = d x - 1 x + 1 - y 2 d x

Como estamos derivando com relação a x , a variável y se comporta como uma constante e como sabemos, a derivada de uma constante é igual a 0 , então podemos desconsiderá-lo nesse momento.

f x = d x - 1 x + 1 d x

Como temos a derivada de uma fração, vamos aplicar a regra do quociente.

Essa regra nos diz que a derivada de uma fração é dada por

d g x h x d x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Se no nosso caso g x = x - 1 e h x = x + 1 , então

f x = d x - 1 d x x + 1 - x - 1 d x + 1 d x x + 1 2

Pelo método de derivação polinomial, temos que

d x - 1 d x = x 1 - 1 - 0 = 1

d x + 1 d x = x 1 - 1 + 1 = 1

Substituindo em f x , vamos obter

f x = 1 x + 1 - x - 1 1 x + 1 2

f x = x + 1 - x + 1 x + 1 2

f x = 2 x + 1 2

E assim obtemos a derivada de f com relação a x !

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora derivamos f com relação a y

f y = d x - 1 x + 1 - y 2 d y

Agora é a vez de x se comportar como uma constante, dessa forma a derivada de todo o termo x - 1 x + 1 resulta em 0 já que não há y a ser derivado.

Se sua derivada resulta em 0 , podemos ignorá-lo nesse caso.

f y = d - y 2 d y

Pelo método de derivação polinomial, temos que

f y = - 2 y 2 - 1

f y = - 2 y

Mais fácil, não foi? 😁

Agora com f x e f y obtidos, vamos substitui-los na formulinha da derivada implícita.

d y d x = - f x f y

d y d x = - 2 x + 1 2 - 2 y

Simplificando...

d y d x = - 2 - 2 y x + 1 2

d y d x = 2 2 y x + 1 2

d y d x = 1 y x + 1 2

Portanto, a derivada da equação que tínhamos no enunciado é dada por essa fração!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d y d x = 1 y x + 1 2

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20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que