Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Use derivação implícita para calcular ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , onde z = z ( x , y ) é dado implicitamente através da expressão

y z = ln ⁡ ( x + z )

Passo 1

Precisamos apenas seguir nosso passo a passo:

Jogamos tudo pra esquerda:

y z - ln ⁡ ( x + z ) = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = y z - ln ⁡ x + z

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = - 1 x + z

F y = z

F z = y - 1 x + z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Logo,

∂ z ∂ x x , y = - - 1 x + z y - 1 x + z = + 1 x + z y x + z - 1   x + z = 1 x + z ∙ x + z   y x + z - 1

∂ z ∂ x x , y = 1 y x + z - 1

E

∂ z ∂ y x , y = - z y - 1 x + z = - z y x + z - 1   x + z = - z ∙ x + z   y x + z - 1

∂ z ∂ y x , y = - z ( x + z ) y x + z - 1

Pronto, achamos, é esse negócio feio mesmo!

Resposta

∂ z ∂ x x , y = 1 y x + z - 1

∂ z ∂ y x , y = - z ( x + z ) y x + z - 1

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