Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, exercício 3 p. 316 (modificado)

A equação x + z + y + z 2 = 6 define z implicitamente como função de x e y . Calcule ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y ,   ∂ 2 z ∂ x ∂ y e ∂ 2 z ∂ y ∂ x .

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

x + z + y + z 2 - 6 = 0

Podemos expandir o quadrado pra simplificar:

x + z + y 2 + 2 y z + z 2 - 6 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = x + z + y 2 + 2 y z + z 2 - 6

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 1

F y = 2 y + 2 z

F z = 1 + 2 y + 2 z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Assim,

∂ z ∂ x = - 1 1 + 2 y + 2 z

∂ z ∂ y = - 2 y - 2 z 1 + 2 y + 2 z

Passo 5

Ainda falta achar as derivadas de segunda ordem mistas. Então fazemos

∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ z ∂ x = 2 1 + 2 y + 2 z 2

E pra outra derivada mista:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ z ∂ y = 0

Opa, as derivadas mistas deram diferente! Lembre-se, elas nem sempre são iguais! Enfim, achamos o que queríamos.

Resposta

∂ z ∂ x = - 1 1 + 2 y + 2 z

∂ z ∂ y = - 2 y - 2 z 1 + 2 y + 2 z

∂ 2 z ∂ y ∂ x = 2 1 + 2 y + 2 z 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = 0

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