Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Seja

3 x 3 y z - z 2 y = sen ⁡ x z + e 2 x y 2

Calcule as derivadas parciais de z em relação a x e y .

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

3 x 3 y z - z 2 y - sen ⁡ x z - e 2 x y 2 = 0

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = 3 x 3 y z - z 2 y - sen ⁡ x z - e 2 x y 2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 9 x 2 y z - z cos ⁡ x z - 2 y 2 e 2 x y 2

F y = 3 x 3 z - z 2 - 4 x y e 2 x y 2

F z = 3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Logo,

∂ z ∂ x x , y = - 9 x 2 y z + z cos ⁡ x z + 2 y 2 e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

∂ z ∂ y x , y = - 3 x 3 z + z 2 + 4 x y e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

Pronto, achamos, é esse negócio feio mesmo!

Resposta

∂ z ∂ x x , y = - 9 x 2 y z + z cos ⁡ x z + 2 y 2 e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

∂ z ∂ y x , y = - 3 x 3 z + z 2 + 4 x y e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que