Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Elaboração própria

Seja

3 x 3 y z - z 2 y = sen ⁡ x z + e 2 x y 2

Calcule as derivadas parciais de z em relação a x e y .

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

3 x 3 y z - z 2 y - sen ⁡ x z - e 2 x y 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = 3 x 3 y z - z 2 y - sen ⁡ x z - e 2 x y 2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 9 x 2 y z - z cos ⁡ x z - 2 y 2 e 2 x y 2

F y = 3 x 3 z - z 2 - 4 x y e 2 x y 2

F z = 3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Logo,

∂ z ∂ x x , y = - 9 x 2 y z + z cos ⁡ x z + 2 y 2 e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

∂ z ∂ y x , y = - 3 x 3 z + z 2 + 4 x y e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

Pronto, achamos, é esse negócio feio mesmo!

Resposta

∂ z ∂ x x , y = - 9 x 2 y z + z cos ⁡ x z + 2 y 2 e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

∂ z ∂ y x , y = - 3 x 3 z + z 2 + 4 x y e 2 x y 2   3 x 3 y - 2 z y - x cos ⁡ x z

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