Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Nenhuma das regras de derivação que vimos até agora é capaz de, diretamente, resolver a derivada de uma função elevada a outra função, por exemplo f x = x s e n x . Use que u v = e v ln ⁡ u   para mostrar que

u v ' = u v u ' v u + v ' ln ⁡ u

Passo 1

Falaee, beleza??? Vamos devagarinho aqui começando a partir do que a questão nos deu. Temos que:

u v = e v ln ⁡ u  

Queremos confirmar o valor da derivada u v ' . Para isso, devemos fazer a derivação implícita, em que derivamos os dois lados da igualdade. Vamos lá!!

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

u v ' = e v ln ⁡ u   ' ∴

u v ' = v ln ⁡ u ' ∙ e v ln ⁡ u  

Passo 3

Sabemos que a regra do produto é dada por:

a ∙ b ' = a b ' + a ' b

Logo, aplicando a v ln ⁡ u ' ∙ e v ln ⁡ u   , temos:

u v ' = v ' ln ⁡ u + v u ' u ∙ u v

O que comprova o resultado do enunciado!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

u v ' = v ' ln ⁡ u + v u ' u ∙ u v

Exercícios de Livros Relacionados

14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que