Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Sabendo que s e n ( x y z ) = x + 2 y + 3 z então ∂ z ∂ y é dada por:

  1. 2 - x z c o s x y z x y c o s x y z - 3
  2. 2 - y z c o s x y z x z c o s x y z - 3
  3. 1 - x z c o s x y z x y c o s x y z - 3
  4. 1 - y z c o s x y z x y c o s x y z - 3

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função de x , y , z tudo misturado e pediu a derivada parcial de uma das variáveis em relação a uma das outras, isso pode ser derivação implícita. Isso porque não temos uma variável em função e outra, elas estão todas misturadas.

Já já você vai ver que quando a gente derivar implicitamente a função com relação a y , vão surgir os termos ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y , daí a gente vai ter o que a gente precisa.

Como relembrar é viver, vamos relembrar o teorema da função implícita seja uma função qualquer F ( x , y , z ) que tenha do lado direito 0:

F x , y , z = 0

Daí a derivada de z em relação a y é:

∂ z ∂ y = - F y F z

Então precisamos achar a função F (é só jogar tora expressão dada pro mesmo lado e igualar a zero), achar as derivadas parciais, e jogar na fórmula!

Mas calma que vou fazer passo a passo!

Vamos nessa?

Passo 2

A expressão dada foi:

s e n ( x y z ) = x + 2 y + 3 z

Jogando tudo pro mesmo lado e igualando a zero temos:

F x , y , z = s e n x y z - x - 2 y - 3 z = 0

Passo 3

Agora vamos calcular as parciais. Primeiro em relação a y :

F y = ∂ F ∂ y = cos ⁡ x y z . x z - 2 = x z c o s x y z - 2

E agora em relação a z :

F z = ∂ F ∂ z = cos ⁡ x y z . x y - 3 = x y c o s x y z - 3

Beleza até aqui?

Passo 4

E agora é só substituir as derivadas parciais:

∂ z ∂ y = - F y F z = - x z c o s x y z - 2 x y c o s x y z - 3

E arrumando os sinais:

∂ z ∂ y = 2 - x z c o s x y z x y c o s x y z - 3

Assim a resposta certa é a (a)

Resposta

( a )

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que