Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Encontre d y / d x por derivação implícita.

b) cos 2 ⁡ ( x + y ) = 1 / 4

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. a gente sabe que a derivação é implícita quando a variável dependente y não está isolada, certinho?

Dessa forma, a gente deriva os dois lados da igualdade para descobrirmos o resultado da derivada!!

Agora vamos juntos resolver! 😉

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

d d x cos 2 ⁡ x + y = d d x 1 4 ∴

A gente sabe que a derivada de uma constante é zero né? Então a gente já tira ela logo hehe

d d x cos 2 ⁡ x + y = 0

Passo 3

Para resolver aquela derivada que ficou, usamos a regra da cadeia de tal forma que:

d u 2 d u ∙ d u d x

Logo, aplicando a nossa derivada, temos:

2 cos ⁡ ( x + y ) ∙ - s e n x + y 1 + y ' = 0 ∴

- 2 cos ⁡ x + y s e n x + y - 2 cos ⁡ x + y s e n x + y y ' = 0 ∴

y ' = d y d x = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = 1

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que