Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Encontre d y / d x por derivação implícita.

a) s e n x + y = y 2 cos ⁡ x

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. a gente sabe que a derivação é implícita quando a variável dependente y não está isolada, certinho?

Dessa forma, a gente deriva os dois lados da igualdade para descobrirmos o resultado da derivada!!

Agora vamos juntos resolver! 😉

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

d d x s e n x + y = d d x y 2 cos ⁡ x ∴

cos ⁡ x + y 1 + y ' = 2 y y ' cos ⁡ x - y 2 s e n   x ∴

cos ⁡ x + y + y 2 s e n   x = 2 y y ' cos ⁡ x - y ' cos ⁡ x + y ∴

y ' = d y d x = y 2 s e n   x + c o s ⁡ ( x + y ) 2 y cos ⁡ x - c o s ⁡ ( x + y )

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = y 2 s e n   x + c o s ⁡ ( x + y ) 2 y cos ⁡ x - c o s ⁡ ( x + y )

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que