Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Suponha que a equação

y 2 + x z + z 2 - e z - c = 0

Define z implicitamente como função de x e y , ou seja, z = f ( x , y ) . Determine o valor da constante c para o qual f 0 , e = 2 e calcule ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto x , y = ( 0 , e ) .

Passo 1

Se a equação

y 2 + x z + z 2 - e z - c = 0

Define mesmo z como função de ( x , y ) , ou seja, z = f x , y , então, para f 0 , e ser igual a 2 basta que ao substituir x = 0 , y = e e z = 2 , temos que satisfazer a equação, ou seja, tem que dar zero. Assim a gente encontra o valor de c .

Vamos ver

e 2 + 0.2 + 2 2 - e 2 - c = 0

c = 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora só falta calcular as derivadas.

No caso, como o enunciado nos diz que z = f ( x , y ) , podemos então afirmar que:

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ x

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ y

Como estamos falando de uma função implícita, vamos usar o teorema da função implícita!

Chamando tudo de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = y 2 + x z + z 2 - e z - 4 = 0

“Mas por que teremos que chamar tudo de F ( x , y , z ) ”? Vou mostrar para você agora.

Passo 3

Calculando as derivadas de F :

F x = z

F y = 2 y

F z = x + 2 z - e z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Assim,

∂ z ∂ x = - z x + 2 z - e z

∂ z ∂ y = - 2 y x + 2 z - e z

Viu agora por que tivemos que chamar tudo de F ( x , y , z ) ? :D

Acabamos? Ainda não, falta agora aplicar a nossa derivada no ponto pedido no enunciado.

Passo 5

Muito bem, vamos aplicar o ponto na derivada que nós encontramos. Lembrando que o ponto pedido é x , y = ( 0 , e ) e que z = 2 nesse ponto.

∂ z ( 0 , e ) ∂ x = - 2 0 + 2 . 2 - e 2 =   - 2 4 - e 2 =   2 e 2 - 4

∂ z ( 0 , e ) ∂ y = - 2 e 0 + 2 . 2 - e 2 = - 2 e 4 - e 2 =   2 e e 2 - 4

Resposta

c = 4

∂ z ( 0 , e ) ∂ x = 2 e 2 - 4

∂ z ( 0 , e ) ∂ y = 2 e e 2 - 4

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