Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Considere a função

z = f ( x , y )

Definida implicitamente por

x y z = cos ⁡ ( x + z ) + ln ⁡ ( y + z )

Utilizando a regra da cadeia, obtenha as expressões das derivadas parciais ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

Passo 1

Jogamos tudo pra esquerda:

x y z - cos ⁡ x + z - ln ⁡ y + z = 0

Passo 2

Chamamos o lado esquerdo de F x , y , z :

F x , y , z = x y z - cos ⁡ x + z - ln ⁡ y + z

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = y z + sen ⁡ ( x + z )

F y = x z - 1 y + z

F z = x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

Passo 4

Aplicamos o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Assim,

∂ z ∂ x = - y z + sen ⁡ ( x + z ) x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

∂ z ∂ y = - x z - 1 y + z x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

Resposta

∂ z ∂ x = - y z + sen ⁡ ( x + z ) x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

∂ z ∂ y = - x z - 1 y + z x y + sen ⁡ ( x + z ) - 1 y + z

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que