Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y para

y z + x ln ⁡ y = z 2

Passo 1

Opa, temos aí uma expressão que define z implicitamente como função de x e y .

E como que eu sei disso?

Simplesmente porque a questão pede as derivadas parciais de z em função de x e de y e da essa expressão pra gente calcular a partir dela rs.

A gente pode usar então, o teorema da função implícita.

Passo 2

Jogando tudo pra esquerda e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = y z + x ln ⁡ y - z 2

Calculando as derivadas parciais:

F x = ln ⁡ y

F y = z + x y

F z = y - 2 z

Passo 3

Aplicando o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Assim,

∂ z ∂ x = - ln ⁡ y y - 2 z

∂ z ∂ y = - z + x y y - 2 z = - z y + x y y - 2 z = - z y + x y 2 - 2 z y

Resposta

∂ z ∂ x = - ln ⁡ y y - 2 z

∂ z ∂ y = - z y + x y 2 - 2 z y

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que