Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

7.b) Calcule a derivada da função f x = x c o s x x ln 4 ⁡ x e t g x x 8 + 4 9 s e n 6 x 2 + 1 . (Dica: Você pode utilizar diferenciação logarítmica).

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão temos uma função dada por f x que temos que obter a sua derivada.

Olhando para a função

f x = x c o s x x ln 4 ⁡ x e t g x x 8 + 4 9 s e n 6 x 2 + 1

Podemos nos assustar um pouco, mas no fim do enunciado, foi dado uma dica para nós.

Essa dica nos diz pra usarmos a diferenciação logarítmica para obter a derivada de f .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔🤔

A diferenciação logarítmica é uma maneira que temos para obter a derivada de uma função que pode ser muito complicada de resolvermos normalmente, como por exemplo a nossa f x .

Assim, podemos dizer que a derivada de f é dada pelo produto da função multiplicado pela derivada do l n da função, ou também.

f ' = f · ln ⁡ f '

Bora começar? 😉

Passo 2

Primeiro vamos ver o que é ln ⁡ f .

Introduzindo a função f no l n , temos

ln ⁡ f = ln ⁡ x c o s x x ln 4 ⁡ x e t g x x 8 + 4 9 s e n 6 x 2 + 1

Assim podemos separar o numerador do denominador já que ln ⁡ a b é igual a ln ⁡ a - ln ⁡ b .

Aplicando isso ao nosso caso, temos

ln ⁡ f = ln ⁡ x c o s x x ln 4 ⁡ x e t g x - ln ⁡ x 8 + 4 9 s e n 6 x 2 + 1

Da mesma forma que a divisão dentro do l n se transforma em subtração, o produto se transforma em soma, ou seja, ln ⁡ a · b é igual a ln ⁡ a + ln ⁡ b . Logo

ln ⁡ f = ln ⁡ x c o s x x + ln ⁡ ln 4 ⁡ x + ln ⁡ e t g x - ln ⁡ x 8 + 4 9 + ln ⁡ s e n 6 x 2 + 1

Perceba que ln ⁡ x c o s x x é o mesmo que ln ⁡ x c o s x · x c o s x · x c o s x · … x vezes, então podemos dizer que ln ⁡ x c o s x x é igual a x ln ⁡ x c o s x . 😅

Pode não ter ficado tão claro, não é? Então vamos analisar ln ⁡ ln 4 ⁡ x , o que temos é ln ⁡ ln ⁡ x · ln ⁡ x · ln ⁡ x · ln ⁡ x , correto? Se ln ⁡ a · b é o mesmo que ln ⁡ a + ln ⁡ b , logo ln ⁡ ln ⁡ x · ln ⁡ x · ln ⁡ x · ln ⁡ x é o mesmo que ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ ln ⁡ x que é igual a 4 ln ⁡ ln ⁡ x , entendeu? 👀

De forma geral queremos dizer que ln ⁡ a b é igual a b l n a .

Aplicando isso ao nosso ln ⁡ f , temos

ln ⁡ f = x ln ⁡ x c o s x + 4 ln ⁡ ln ⁡ x + t g x ln ⁡ e - 9 ln ⁡ x 8 + 4 + 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1

Simplificando a equação e sabendo que ln ⁡ e = 1 , então

ln ⁡ f = x ln ⁡ x c o s x + 4 ln ⁡ ln ⁡ x + t g x - 9 ln ⁡ x 8 + 4 - 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora temos que derivar ln ⁡ f antes de substituir em f ' .

ln ⁡ f ' = d x ln ⁡ x c o s x + 4 ln ⁡ ln ⁡ x + t g x - 9 ln ⁡ x 8 + 4 - 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

ln ⁡ f ' = d x ln ⁡ x c o s x d x + d 4 ln ⁡ ln ⁡ x d x + d t g x d x - d 9 ln ⁡ x 8 + 4 d x - d 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x

Vamos calcular cada derivada separadamente e depois substituir em ln ⁡ f ' .

Primeiro vamos obter a derivada de x ln ⁡ x c o s x .

Nesse caso, temos um produto de funções entre x e ln ⁡ x c o s x , então temos que aplicar a regra do produto.

d x ln ⁡ x c o s x d x = d x d x · ln ⁡ x c o s x + x · d ln ⁡ x c o s x d x

Mas também perceba que ln ⁡ x c o s x é uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia calculando a derivada da função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora (vamos chamar a função de dentro como u ).

d x ln ⁡ x c o s x d x = d x d x · ln ⁡ x c o s x + x · d x c o s x d x · d ln ⁡ u d u

Tem mais uma coisa... x c o s x é um produto de funções, então temos que aplicar a regra do produto novamente.

Relaxa! Não arranque os cabelos, no final valerá o esforço! 🤩

d x ln ⁡ x c o s x d x = d x d x · ln ⁡ x c o s x + x · d x d x · c o s x + x · d c o s x d x · d ln ⁡ u d u

Agora sim podemos obter as derivadas!

A derivada de x é obtido pelo método de derivação polinomial, a derivada de c o s x e de ln ⁡ u (com relação a u ) temos que decorar pelo teorema fundamental do cálculo d c o s x d x = - s e n x e d ln ⁡ u d u = 1 u

d x ln ⁡ x c o s x d x = x 1 - 1 · ln ⁡ x c o s x + x · x 1 - 1 · c o s x + x · - s e n x · 1 u

Simplificando e substituindo u por x c o s x de volta.

d x ln ⁡ x c o s x d x = ln ⁡ x c o s x + x c o s x + x - s e n x 1 x c o s x

d x ln ⁡ x c o s x d x = ln ⁡ x c o s x + x c o s x + x 2 - s e n x 1 x c o s x

d x ln ⁡ x c o s x d x = ln ⁡ x c o s x + 1 - x s e n x cos ⁡ x    

Lembra o que é s e n x cos ⁡ x ? t g x , não é? Então

d x ln ⁡ x c o s x d x = ln ⁡ x c o s x + 1 - x t g x

Foi a primeira derivada! Bora pra próxima! 😉😉

Passo 4

Agora vamos obter a derivada de 4 ln ⁡ ln ⁡ x .

Vemos que ln ⁡ ln ⁡ x é uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia nesse caso. Lembra como faz? A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora (substituindo a função interna por v ).

d 4 ln ⁡ ln ⁡ x d x = 4 · d ln ⁡ x d x · d ln ⁡ v d v

Já vimos anteriormente que a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 / x , logo, também, a derivada de ln ⁡ v é igual a 1 / v .

d 4 ln ⁡ ln ⁡ x d x = 4 · 1 x · 1 v

Substituindo v por ln ⁡ x de volta

d 4 ln ⁡ ln ⁡ x d x = 4 x l n x

Bacana? 😁

Bora pra mais uma!

Passo 5

Agora derivamos a t g x . Mais uma vez temos uma derivada que temos que decorar para a vida, pelo teorema fundamental do cálculo

d t g x d x = s e c 2 x

Já para a derivada de 9 ln ⁡ x 8 + 4 temos que aplicar a regra da cadeia novamente (dessa vez fazendo x 8 + 4 como t ).

d 9 ln ⁡ x 8 + 4 d x = 9 · d x 8 + 4 d x · d ln ⁡ t d t

Vamos derivar x 8 + 4 pelo método de derivação polinomial e a derivada de ln ⁡ t sabemos que é igual a 1 / t , logo

d 9 ln ⁡ x 8 + 4 d x = 9 · 8 · x 8 - 1 + 0 4 · 1 t

Simplificando e substituindo t por x 8 + 4

d 9 ln ⁡ x 8 + 4 d x = 9 8 x 7 · 1 x 8 + 4

d 9 ln ⁡ x 8 + 4 d x = 72 x 7 x 8 + 4

Entendeu essa parte? 😎

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada de 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 .

Como nossa função é composta, temos que aplicar a regra da cadeia fazendo s e n x 2 + 1 como w na derivada de fora, ou seja

d 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x = 6 · d s e n x 2 + 1 d x · d ln ⁡ w d x

Porém novamente temos uma outra função composta, no caso s e n x 2 + 1 . Aplicando a regra da cadeia substituindo x 2 + 1 por k na derivada de fora, temos

d 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x = 6 · d x 2 + 1 d x · d s e n k d k · d ln ⁡ w d x

Derivamos x 2 + 1 pelo método de derivação polinomial e as derivadas s e n k com relação a k e ln ⁡ w com relação a w são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo onde d s e n k d k = cos ⁡ k e d ln ⁡ w d x = 1 w .

d 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x = 6 · 2 · x 2 - 1 + 0 1 · cos ⁡ k · 1 w

Simplificando e substituindo k por x 2 + 1 e w por s e n x 2 + 1 de volta, temos

d 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x = 12 x cos ⁡ x 2 + 1 s e n x 2 + 1

Se s e n x cos ⁡ x = t g x , então

d 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x = 12 x t g x 2 + 1

Está acompanhando? 👀

Passo 7

Por fim, substituímos os resultados das derivadas que obtivemos em ln ⁡ f '

ln ⁡ f ' = d x ln ⁡ x c o s x d x + d 4 ln ⁡ ln ⁡ x d x + d t g x d x - d 9 ln ⁡ x 8 + 4 d x - d 6 ln ⁡ s e n x 2 + 1 d x

ln ⁡ f ' = ln ⁡ x c o s x + 1 - x t g x + 4 x l n x + s e c 2 x - 72 x 7 x 8 + 4 - 12 x t g x 2 + 1

Substituindo ln ⁡ f ' na equação de diferenciação logarítmica

f ' = f · ln ⁡ f '

f ' = x c o s x x ln 4 ⁡ x e t g x x 8 + 4 9 s e n 6 x 2 + 1 · ln ⁡ x c o s x + 1 - x t g x + 4 x l n x + s e c 2 x - 72 x 7 x 8 + 4 - 12 x t g x 2 + 1

Grandinho, não é? 👀

Mas enfim terminamos, a derivada de f é dada pela equação acima!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' = x c o s x x ln 4 ⁡ x e t g x x 8 + 4 9 s e n 6 x 2 + 1 · ln ⁡ x c o s x + 1 - x t g x + 4 x l n x + s e c 2 x - 72 x 7 x 8 + 4 - 12 x t g x 2 + 1

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