Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Se y = x 2 ln ⁡ ( 5 x ) , encontre y ' ' .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a segunda derivada da função y = x 2 ln ⁡ ( 5 x ) .

Repare que nós temos o produto de uma função polinomial com uma função logarítmica e que a função logarítmica é uma função composta, nesse caso. Então, vamos precisar aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia na hora de derivar.

Vamos relembrar a regra do produto, que tem a forma:

f x g x ' = f ' x g x + f x g ' ( x )

E na regra da cadeia vamos derivar a função composta fazendo a derivada da função de fora aplicada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro, ou seja:

f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Então, basta ir derivando e substituindo nas fórmulas. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de y = x 2 ln ⁡ ( 5 x ) , aplicando a regra do produto:

y ' = d d x x 2 ln ⁡ 5 x + x 2 d d x ln ⁡ 5 x

Derivando o primeiro termo aplicando a regrinha da potência ( d d x x n = n x n - 1 ) e o segundo termo aplicando a regra da cadeia, temos:

y ' = 2 x ln ⁡ 5 x + x 2 1 5 x ( 5 )

Simplificando:

y ' = 2 x ln ⁡ 5 x + x

Passo 3

Derivando esse resultado mais uma vez, temos a segunda derivada:

y ' ' = d d x 2 x ln ⁡ 5 x + x

Repare que vamos aplicar a regra do produto e da cadeia novamente no primeiro termo:

y ' ' = d d x 2 x ln ⁡ ( 5 x ) + 2 x d d x ln ⁡ 5 x + d d x ( x )

y ' ' = 2 ln ⁡ ( 5 x ) + 2 x 1 5 x ∙ 5 + 1

Simplificando, temos:

y ' ' = 2 ln ⁡ ( 5 x ) + 3

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 ln ⁡ ( 5 x ) + 3

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