Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

Ver Teoria

Enunciado

17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

e) f x = x 3 + 2 x x 7 + 1 5

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f x = x 3 + 2 x x 7 + 1 5 pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ��� a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f x = x 3 + 2 x x 7 + 1 5 , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ y = ln ⁡ x 3 + 2 x x 7 + 1 5

Aplicando a propriedade de quociente do logaritmo, temos

ln ⁡ y = ln ⁡ x 3 + 2 x - ln ⁡ x 7 + 1 5

Podemos reescrever x 7 + 1 5 como x 7 + 1 1 5

ln ⁡ y = ln ⁡ x 3 + 2 x - ln ⁡ x 7 + 1 1 5

Agora pela propriedade do expoente

ln ⁡ y = ln ⁡ x 3 + 2 x - 1 5 ln ⁡ x 7 + 1

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 y y ' = d ln ⁡ x 3 + 2 x - 1 5 ln ⁡ x 7 + 1 d x

Agora é só aplicar o que já sabemos...

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...

1 y y ' = d ln ⁡ x 3 + 2 x d x - d 1 5 ln ⁡ x 7 + 1 d x

1 y y ' = d ln ⁡ x 3 + 2 x d x - 1 5 d ln ⁡ x 7 + 1 d x

Isolando y '

y ' = y d ln ⁡ x 3 + 2 x d x - 1 5 d ln ⁡ x 7 + 1 d x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos derivar cada termo separadamente...

Começando por ln ⁡ x 3 + 2 x aplicando a regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora

d ln ⁡ x 3 + 2 x d x = d x 3 + 2 x d x · d ln ⁡ u d u = 3 x 2 + 2 · 1 u

d ln ⁡ x 3 + 2 x d x = 3 x 2 + 2 u

Como u = x 3 + 2 x , então

d ln ⁡ x 3 + 2 x d x = 3 x 2 + 2 x 3 + 2 x

Para a derivada de ln ⁡ x 7 + 1 faremos a mesma coisa

d ln ⁡ x 7 + 1 d x = d x 7 + 1 d x · d ln ⁡ v d v = 7 x 6 · 1 v

d ln ⁡ x 7 + 1 d x = 7 x 6 v

Voltando v para x 7 + 1

d ln ⁡ x 7 + 1 d x = 7 x 6 x 7 + 1

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Substituindo essas derivadas em y '

y ' = y 3 x 2 + 2 x 3 + 2 x - 1 5 7 x 6 x 7 + 1

y ' = y 3 x 2 + 2 x 3 + 2 x - 7 x 6 5 x 7 + 1

Organizando um pouquinho...

y ' = y 3 x 2 + 2 5 x 7 + 1 - 7 x 6 x 3 + 2 x x 3 + 2 x 5 x 7 + 1

y ' = y 5 3 x 2 + 2 x 7 + 1 - 7 x 6 x 3 + 2 x 5 x 3 + 2 x x 7 + 1

Como y = f x = x 3 + 2 x x 7 + 1 5 então

y ' = x 3 + 2 x x 7 + 1 5 5 3 x 2 + 2 x 7 + 1 - 7 x 6 x 3 + 2 x 5 x 3 + 2 x x 7 + 1

Simplificando

y ' = 1 x 7 + 1 5 5 3 x 2 + 2 x 7 + 1 - 7 x 6 x 3 + 2 x 5 x 7 + 1

y ' = 5 3 x 2 + 2 x 7 + 1 - 7 x 6 x 3 + 2 x 5 x 7 + 1 x 7 + 1 5

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y ' = 5 3 x 2 + 2 x 7 + 1 - 7 x 6 x 3 + 2 x 5 x 7 + 1 x 7 + 1 5

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que underset(n - oo)(lim) (1 + (x)/(n))^n = e^x , para qualquer xo
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ ( 3 θ e - θ )
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ ( 2 e - t sen ⁡ t )
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = x 2 + 1 x - 1 2
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = t ( t + 1 ) ( t + 2 )