Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

15 .   f ( x ) = [ l n ( x ) ] x x l n ( x )

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = [ l n ( x ) ] x x l n ( x )

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Primeira coisa vamos aplicar o logaritmo em nossa função, temos que

l n [ f ( x ) ] = l n { [ l n ( x ) ] x x l n ( x ) }

usando a seguinte propriedade do logaritmo, temos que

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = l n [ g ( x ) ] + l n [ h ( x ) ]

podemos escrever então que

l n [ f ( x ) ] = l n { [ l n ( x ) ] x } + l n [ x l n ( x ) ]

se usarmos então a propriedade do logaritmo

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = h ( x )   l n [ g ( x ) ]

Podemos escrever que

l n [ f ( x ) ] = x   l n [ l n ( x ) ] +   l n ( x ) l n ( x ) = x   l n [ l n ( x ) ] + l n 2 ( x )

Se derivarmos dos dois lados, obtemos que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d x { x   l n [ l n ( x ) ] } + d d x [ l n 2 ( x ) ]

Resolver agora é uma questão de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia! Vamos fazer isso com calma!

Passo 3

Vamos primeiro resolver a derivada

d d x { x   l n [ l n ( x ) ] }

lembrando a regra do produto

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

ou seja, podemos escrever

d d x { x   l n [ l n ( x ) ] } = d d x ( x ) l n [ l n ( x ) ] + x d d x { l n [ l n ( x ) ] }

pela regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

podemos escrever que

d d x ( x ) = 1

Agora, usando a regra da cadeia

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

em que g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = l n ( x ) , usando a derivada logarítmica que apresentei no primeiro passo, temos que

d d x { l n [ l n ( x ) ] } = d d h [ l n ( h ) ] d d x [ l n ( x ) ] = 1 x   l n ( x )

juntando ambos os resultados, temos que

d d x { x   l n [ l n ( x ) ] } = l n [ l n ( x ) ] + 1 l n ( x )

Vamos resolver a nossa outra derivada agora! Bora lá!

Passo 4

Temos que resolver

d d x [ l n 2 ( x ) ]

usando a regra da cadeia com g ( h ) = h 2 e h ( x ) = l n ( x ) , podemos escrever

d d x [ l n 2 ( x ) ] = d d h ( h 2 ) d d x [ l n ( x ) ]

aplicando a regra do tombo e a derivada logarítmica temos que

d d x [ l n 2 ( x ) ] = 2   l n ( x ) 1 x = 2   l n ( x ) x

Juntando ambos os resultados, podemos obter que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = l n [ l n ( x ) ] + 1 l n ( x ) + 2   l n ( x ) x

Agora precisamos resolver o lado esquerdo! Bora lá!

Passo 5

Temos que resolver

d d x { l n [ f ( x ) ] }

aplicando a regra da cadeia com g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = f ( x ) , podemos escrever

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d h [ l n ( h ) ] d d x [ f ( x ) ] = 1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ]

Portanto, usando que f ( x ) = [ l n ( x ) ] x x l n ( x ) , obtemos a nossa derivada como

d d x [ f ( x ) ] = [ l n ( x ) ] x x l n ( x ) { l n [ l n ( x ) ] + 1 l n ( x ) + 2   l n ( x ) x }

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ] = [ l n ( x ) ] x x l n ( x ) { l n [ l n ( x ) ] + 1 l n ( x ) + 2   l n ( x ) x }

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