Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Se f x = ln ⁡ ( 1 + e 2 x ) , encontre f ' ( 0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função f x = ln ⁡ ( 1 + e 2 x ) no ponto x = 0 .

Repare que essa é uma função composta, nós temos a função logaritímica e no argumento temos a soma de uma função constante com uma exponencial.

Então, pra derivar essa função composta, vamos precisar da regra da cadeia. Porque a regra da cadeia nos diz que pra derivar uma função composta nós precisamos derivar a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicar pela função de dentro, ou seja:

f ' x = h g x ' = h ' g x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, h x = ln ⁡ ( 1 + e 2 x ) e g x = 1 + e 2 x . Sacou? Então, basta substituir na fórmula, depois aplicamos o valor x = 0 e encontraremos nosso resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Nós sabemos que a derivada do ln de alguma coisa é igual a 1 sobre essa mesma coisa. Então, aplicando a regra da cadeia, vamos ter:

f ' x = 1 1 + e 2 x 1 + e 2 x '

Agora vamos precisar derivar a função de dentro, que é 1 + e 2 x . A gente sabe que a derivada de uma constante vale zero, então d d x 1 = 0 . No segundo termo do argumento, temos outra função composta, temos a exponencial e o polinômio 2 x . Então precisamos aplicar a regra da cadeia nela também, de modo que teremos:

d d x e 2 x = e 2 x ∙ 2 x ' = e 2 x ∙ 2

Juntando tudo em f ' ( x ) , vamos ter:

f ' x = 1 1 + e 2 x 0 + 2 e 2 x

f ' x = 2 e 2 x 1 + e 2 x

Agora aplicando x = 0 , temos:

f ' 0 = 2 e 2 ∙ 0 1 + e 2 ∙ 0

f ' 0 = 2 ( 1 ) 1 + 1 = 2 2 = 1

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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