Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Sobre a função logarítmica complexa é correto afirmar:

  1. Se Log corresponde ao ramo principal da função logarítmica então L o g i 3 = 3 L o g i
  2. Se log ⁡ z = w então e w = z
  3. A função não está definida para z = 0
  4. A função não está definida para z =   - 1
  5. Para os pontos em que a função logarítmica é analítica temos log ⁡ z = 1 z

Passo 1

O logaritmo complexo de um número complexo z = x + y i (onde x é a parte real e y é a parte imaginária) é dado por:

log ⁡ z = ln ⁡ z + i arg ⁡ z

Essa definição irá nos ajudar a analisar as alternativas a seguir.

A afirmação: Se Log corresponde ao ramo principal da função logarítmica então L o g i 3 = 3 L o g i está correta, pois está propriedade também é válida nos números complexos.

A afirmação se log ⁡ z = w então e w = z é falsa, pois o logaritmo natural de um número complexo z = x + i y  é denotado por    l n ( z )  ou  l o g ( z )  é definido com a inversa da função exponencial, ou seja,  w = ln ⁡ z   ↔ e w = z ,   ∀ z ≠ 0 . Se colocarmos acima  w = u ( r , θ ) + i v ( r , θ )  e  z = r e i θ , temos que e w = e u + i v = e u e i v = r e i θ .

Passo 2

A afirmação: A função não está definida para z = 0 , e isso se da pelo simples fato de que não temos o logaritmo de um numero x = 0 .

A afirmação a função não está definida para z= -1 está incorreta, pois a função logarítmica complexa é definida para o modulo e o seu argumento.

A afirmação para os pontos em que a função logarítmica é analítica temos log ⁡ z = 1 z é falsa, este resultado é a na verdade a derivada da função logaritmo complexa.

Resposta

a)

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