Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

Ver Teoria

Enunciado

Use a diferenciação logarítmica para determinar a derivada da função:

y = y x = cos ⁡ x sen ⁡ x   ,             0 < x < π 2

Passo 1

Vamos lá, seguimos o que ele pediu: diferenciação logarítmica. É um processo que não tem nada demais, basta lançar o ln ⁡ x na igualdade:

ln ⁡ y x = ln ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ x

ln ⁡ y x = sen ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x )

Agora fazemos uma derivação implícita do lado esquerdo e usamos a Regra do Produto do lado direito.

ln ⁡ y x ' = sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x '

1 y x y ' x = cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x ( - sen ⁡ x )

Repara que se passarmos y ( x ) para o outro lado teremos a derivada, que é o que o foi pedido lá em cima. Então, sabendo que y x = cos ⁡ x sen ⁡ x , passamos ele multiplicando:

y ' x = cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x - sen ⁡ x

y ' x = cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

É esse troço feio aí o resultado!

Resposta

y ' x = cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n =e x , para qualquer xo
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ ( 3 θ e - θ )
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ ( 2 e - t sen ⁡ t )
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = x 2 + 1 x - 1 2
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = t ( t + 1 ) ( t + 2 )