Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

b) f y = y + 3 3 5 y + 1 2 3 y 2 - 4

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f y = y + 3 3 5 y + 1 2 3 y 2 - 4 pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ⁡ a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f y = y + 3 3 5 y + 1 2 3 y 2 - 4 , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ x = ln ⁡ y + 3 3 5 y + 1 2 3 y 2 - 4

Aplicando a propriedade de produto do logaritmo, temos

ln ⁡ x = ln ⁡ y + 3 3 + ln ⁡ 5 y + 1 2 + ln ⁡ 3 y 2 - 4

Também a regra do expoente

ln ⁡ x = 3 ln ⁡ y + 3 + 2 ln ⁡ 5 y + 1 + ln ⁡ 3 y 2 - 4

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 x x ' = d 3 ln ⁡ y + 3 + 2 ln ⁡ 5 y + 1 + ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y

Agora é só aplicar o que já sabemos...

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...

1 x x ' = d 3 ln ⁡ y + 3 d y + d 2 ln ⁡ 5 y + 1 d y + d ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y

1 x x ' = 3 d ln ⁡ y + 3 d y + 2 d ln ⁡ 5 y + 1 d y + d ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y

Isolando x '

x ' = x 3 d ln ⁡ y + 3 d y + 2 d ln ⁡ 5 y + 1 d y + d ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora podemos calcular cada termo separadamente a partir da regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Para o termo ln ⁡ y + 3

d ln ⁡ y + 3 d y = d y + 3 d y · d ln ⁡ u d u = 1 · 1 u

d ln ⁡ y + 3 d y = 1 u

Como u = y + 3

d ln ⁡ y + 3 d y = 1 y + 3

Agora para o termo ln ⁡ 5 y + 1

d ln ⁡ 5 y + 1 d y = d 5 y + 1 d y · d ln ⁡ v d v = 5 · 1 v

d ln ⁡ 5 y + 1 d y = 5 v

Se v = 5 y + 1 , então

d ln ⁡ 5 y + 1 d y = 5 5 y + 1

E por último, para o termo ln ⁡ 3 y 2 - 4

d ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y = d 3 y 2 - 4 d y · d ln ⁡ p d p = 6 y · 1 p

d ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y = 6 y p

Voltando p para 3 y 2 - 4 .

d ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y = 6 y 3 y 2 - 4

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Substituindo em x '

x ' = x 3 d ln ⁡ y + 3 d y + 2 d ln ⁡ 5 y + 1 d y + d ln ⁡ 3 y 2 - 4 d y

x ' = x 3 1 y + 3 + 2 5 5 y + 1 + 6 y 3 y 2 - 4

x ' = x 3 y + 3 + 10 5 y + 1 + 6 y 3 y 2 - 4

Como x = f y = y + 3 3 5 y + 1 2 3 y 2 - 4 , então

x ' = y + 3 3 5 y + 1 2 3 y 2 - 4 3 y + 3 + 10 5 y + 1 + 6 y 3 y 2 - 4

Simplificando...

x ' = y + 3 3 5 y + 1 2 3 y 2 - 4 3 5 y + 1 3 y 2 - 4 + 10 y + 3 3 y 2 - 4 + 6 y y + 3 5 y + 1 y + 3 5 y + 1 3 y 2 - 4

x ' = y + 3 2 5 y + 1 3 5 y + 1 3 y 2 - 4 + 10 y + 3 3 y 2 - 4 + 6 y y + 3 5 y + 1

x ' = 3 y + 3 2 5 y + 1 2 3 y 2 - 4 + 10 y + 3 3 5 y + 1 3 y 2 - 4 + 6 y y + 3 3 5 y + 1 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

x ' = 3 y + 3 2 5 y + 1 2 3 y 2 - 4 + 10 y + 3 3 5 y + 1 3 y 2 - 4 + 6 y y + 3 3 5 y + 1 2

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