Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva y = ln ⁡ ( x 3 - 7 ) no ponto ( 2 ,   0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva y = ln ⁡ ( x 3 - 7 ) no ponto ( 2 ,   0 ) . Pra isso, nós precisamos lembrar que a equação de uma reta de coeficiente angular m , passando por um ponto P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) é dada por:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Além disso, a gente sabe que a derivada representa essa inclinação da reta, então podemos dizer que m = d y d x . Sendo assim, nós vamos precisar calcular a derivada de y em relação a x , aplica-la no ponto dado e substituir tudo na equação da reta.

E para achar a equação da reta normal à curva, vamos fazer de modo semelhante. Mas precisamos saber que o seu coeficiente angular n é o inverso negativo do coeficiente angular m da reta tangente, ou seja:

n = - 1 m

Isso acontece porque as duas retas são perpendiculares. Assim, encontrando a equação da reta tangente, basta inverter o coeficiente angular e teremos a equação da reta normal.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada em relação a x de y = ln ⁡ ( x 3 - 7 ) . Repare que essa é uma função composta, então precisamos aplicar a regra da cadeia na hora de derivar. Fica assim:

d y d x = d d x ln ⁡ ( x 3 - 7 )

d y d x = 1 x 3 - 7 ∙ d d x ( x 3 - 7 )

Derivando a função de dentro do argumento do ln, vamos ter:

d y d x = 1 x 3 - 7 ∙ ( 3 x 2 - 0 )

d y d x = 3 x 2 x 3 - 7

Assim, no ponto ( 2 ,   0 ) , vamos substituir x = 2 e teremos:

d y d x ( 2 ,   0 ) = 3 ( 2 ) 2 ( 2 ) 3 - 7 = 12 8 - 7 = 12

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é m = 12 . Consequentemente, o coeficiente angular da reta normal será:

n = - 1 m = - 1 12

Passo 3

Substituindo na equação da reta com x 0 ,   y 0 = ( 2 ,   0 ) , temos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 0 = 12 ( x - 2 )

y = 12 x - 24

Essa é a equação da reta tangente à curva. De modo semelhante, vamos ter a reta normal dada por:

y - 0 = - 1 12 ( x - 2 )

y = - x 12 + 1 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 12 x - 24 → r e t a   t a n g e n t e

y = - x 12 + 1 6 → r e t a   n o r m a l

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