Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

7 .   f ( x ) = e x l n ( x )

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = e x l n ( x )

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Primeira coisa, temos uma função que é produto entre duas funções, da forma f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , normalmente, usamos a regra do produto, mas e se no lugar usarmos a seguinte propriedade do logaritmo

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = l n [ g ( x ) ] + l n [ h ( x ) ]

identificando que g ( x ) = e x e h ( x ) = l n ( x ) , temos

l n [ f ( x ) ] = l n [ e x ] + l n [ l n ( x ) ]

Só mais uma propriedade do logaritmo antes de começarmos a derivar, lembre que o logarítmo neperiano é a inversa da função exponencial, portanto

l n [ e g ( x ) ] = g ( x )

e, finalmente, obtemos

l n [ f ( x ) ] = x + l n [ l n ( x ) ]

bem mais simples do que o produto que tínhamos antes, não é? Vamos começar a derivar agora!

Passo 3

Derivando em ambos os lados, temos pela linearidade do operador derivada que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d x [ x ] + d d x { l n [ l n ( x ) ] }

identificando que x = x 1 / 2 , podemos usar a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

para obter

d d x [ x ] = 1 2 x - 1 / 2 = 1 2   x

guarde bem esse resultado que ele será útil na outra derivada também! Para as outras duas, temos funções compostas da forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) , portanto devemos derivá-las usando que

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

identificando que g ( h ) = l n ( h ) e que h ( x ) = l n ( x ) , temos que

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ l n [ h ] ] d d x [ l n ( x ) ]

usando a derivada logarítmica que apresentei no passo 1 podemos escrever que

d d h [ l n [ h ] ] = 1 h = 1 l n ( x )

Para a outra derivada teremos que aplicar a regra da cadeia novamente! Saca só!

Passo 4

TEmos que calcular a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ]

identificando em nossa regra cadeia que temos novamente g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = x = x 1 / 2 , temos que

d d x [ l n ( x ) ] = d d h [ l n ( h ) ] d d x [ x ] = 1 x 1 2 x

note que usei o resultado que tínhamos obtido antes para a derivada de x , simplificando podemos escrever

d d x [ l n ( x ) ] = 1 2   x

juntando com os resultados do passo anterior, temos que

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ l n [ h ] ] d d x [ l n ( x ) ] = 1 l n ( x ) 1 2 x

Ou seja, temos que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = 1 2   x + 1 2 x   l n ( x )

Ainda temos mais uma derivada para calcular! Mas vamos beber uma aguinha primeiro! No jeito? Bora lá!

Passo 5

Agora, vamos usar a regra da cadeia denovo, mas com g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = f ( x ) , temos que

d d x [ l n [ f ( x ) ] ] = 1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ]

o que queremos neste problema é d d x [ f ( x ) ] , portanto, usando todos os resultado que obtivemos até agora, temos que

1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ] = 1 2   x + 1 2 x   l n ( x )

Portanto, usando que f ( x ) = e x l n ( x ) a nossa derivada será

d d x [ f ( x ) ] = e x l n ( x ) [ 1 2   x + 1 2 x   l n ( x ) ]

que pode ser simplificado da seguinte maneira

d d x [ f ( x ) ] = e x l n ( x ) [ x 2   x + 1 2 x   l n ( x ) ] = e x 2 x [ x   l n ( x ) + 1 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ] = e x 2 x [ x   l n ( x ) + 1 ]

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