Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

14 .   f ( x ) = x π + π x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = x π + π x

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Vamos derivar em ambos os lados de nossa função, temos que

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ x π ] + d d x [ π x ]

a primeira derivada do lado direito pode ser feita usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

usando que n = π , temos que

d d x [ x π ] = π   x π - 1

Para a segunda vamos ter que fazer um pequeno truque usando as propriedades do logaritmo! Saca só!

Passo 3

Temos que resolver a seguinte derivada

d d x [ π x ]

se lembrarmos que a exponencial e o logaritmo são funções inversas, ou seja, obedecem a seguinte propriedade

e l n [ g ( x ) ] = g ( x )

podemos escrever a nossa derivada como

d d x [ π x ] = d d x [ e l n [ π x ] ]

Usando a propriedade do logaritmo

l n [ f ( x ) g ( x ) ] =   g ( x )   l n [ f ( x ) ]

podemos escrever que

d d x [ π x ] = d d x [ e x   l n [ π ] ]

como a derivada da exponencial é conhecida como

d d x [ e a x ] = a   e a x

podemos finalmente escrever que

d d x [ π x ] = l n ( π ) e x   l n [ π ] = l n ( π ) e l n [ π x ]

ou simplesmente

d d x [ π x ] = l n ( π )   π x

Juntando os dois resultados que obtivemos anteriormente, temos que

d d x [ f ( x ) ] = π   x π - 1 + l n ( π )   π x

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ] = π   x π - 1 + l n ( π )   π x

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