Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive

a) h x = ln ⁡ ( x 3 + cos ⁡ x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função h x = ln ⁡ ( x 3 + cos ⁡ x ) . Repare que essa é uma função composta, nós temos a função logaritímica e no argumento temos um polinômio sendo somado com uma função trigonométrica.

Parece meio complicado, mas é super simples derivar essa função, porque basta a gente usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que pra derivar uma função composta nós precisamos derivar a função de fora aplicada na de dentro e multiplicar pela função de dentro, ou seja:

h ' x = f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, f x = ln ⁡ ( x 3 + cos ⁡ x ) e g x = x 3 + cos ⁡ x . Sacou? Então, basta substituir na fórmula.

Vamos lá!

Passo 2

Então vamos começar derivando o ln do argumento:

h ' x = 1 x 3 + cos ⁡ x ∙ x 3 + cos ⁡ x '

Agora derivando a função de dentro, que é x 3 + cos ⁡ x , vamos usar a regra da potência no polinômio ( d d x x n = n x n - 1 ) e a derivada tabelada do cosseno. Fica assim:

h ' x = 3 x 2 - sin ⁡ x x 3 + cos ⁡ x

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 x 2 - sin ⁡ x x 3 + cos ⁡ x

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