Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive

e) y = ln ⁡ x x 2 - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função y = ln ⁡ x x 2 - 1 . Repare que essa é uma função composta, nós temos uma função logarítmica e no argumento dela, temos uma função polinomial.

Parece meio complicado, mas é super simples derivar essa função, porque basta a gente usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que pra derivar uma função composta nós precisamos derivar a função de fora aplicada na de dentro e multiplicar pela função de dentro, ou seja:

y ' = f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, f x = ln ⁡ x x 2 - 1 e g x = x x 2 - 1 . Sacou? Então, basta substituir na fórmula.

Vamos lá!

Passo 2

Nós sabemos que a derivada do ln de alguma coisa é igual a 1 sobre essa mesma coisa. Então, fica fácil a gente resolver usando a regra da cadeia. Vamos primeiro derivar a função de fora, que é o ln e multiplicar pela derivada da função de dentro:

y ' = 1 x x 2 - 1 ∙ x x 2 - 1 '

A derivada da função de fora aplicada na de dentro já foi. Agora derivando a função de dentro, que é o produto x x 2 - 1 , vamos também precisar usar a regra do produto ( f ∙ g ' = f ' g + f g ' ). Fica assim:

y ' = 1 x x 2 - 1 ∙ x ' x 2 - 1 + x x 2 - 1 '

Derivando agora aplicando a regra da potência ( d d x x n = n x n - 1 ) e a regra da cadeia de novo no termo x 2 - 1 , vamos ter:

y ' = 1 x x 2 - 1 ∙ 1 x 2 - 1 + x 2 x 2 x 2 - 1

y ' = 1 x x 2 - 1 ∙ x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1

Tirando o M.M.C dentro dos colchetes:

y ' = 1 x x 2 - 1 x 2 - 1 + x 2 x 2 - 1

y ' = 1 x x 2 - 1 2 x 2 - 1 x 2 - 1

Fazendo o produto e simplificando:

y ' = 2 x 2 - 1 x x 2 - 1 x 2 - 1

y ' = 2 x 2 - 1 x x 2 - 1

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 x 2 - 1 x x 2 - 1

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