Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

13 .   f ( x ) = [ s e n ( x ) ] a r c s e n ( x )

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = [ s e n ( x ) ] a r c s e n ( x )

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Aqui a primeira coisa que nos será útil é lembrar a seguinte propriedade do logaritmo, temos que

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = h ( x )   l n ( g ( x ) )

Portanto, podemos escrever que

l n [ f ( x ) ] = l n { [ s e n ( x ) ] a r c s e n ( x ) } =   a r c s e n ( x )   l n [ s e n ( x ) ]

se derivarmos em ambos os lados, temos que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d x [ a r c s e n ( x )   l n [ s e n ( x ) ] ]

Para expandir essa expressão agora precisaremos usar a regra do produto, se lembra dela? Bora lá!

Passo 3

Utilizando a regra do produto

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

em que temos g ( x ) = a r c s e n ( x ) e h ( x ) = l n [ s e n ( x ) ] , podemos escrever

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d x [ a r c s e n ( x ) ] l n [ s e n ( x ) ] + a r c s e n ( x ) d d x { l n [ s e n ( x ) ] }

A derivada do arcosseno pode ser tomada como conhecida, temos que

d d x [ a r c s e n ( x ) ] = 1 1 - x 2

para a outra derivada vamos ter que usar a regra da cadeia! Vamos lá!

Passo 4

A regra da cadeia é dada tal que

d d x { g [ h ( x ) ] } = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

em que temos g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = s e n ( x ) , aplicando a fórmula, temos que

d d x { l n [ s e n ( x ) ] } = d d h [ l n ( h ) ] d d x [ s e n ( x ) ]

Usando a derivada do logaritmo que apresentei no primeiro passo, e a derivada conhecida

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

podemos escrever, lembrando que h ( x ) = s e n ( x ) , que

d d x { l n [ s e n ( x ) ] } = c o s ( x ) s e n ( x ) = c o t a n ( x )

Ainda temos mais uma derivada para fazer! Vem comigo!

Passo 5

Usando os resultados que calculamos até agora temos que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = 1 1 - x 2 l n [ s e n ( x ) ] + a r c   s e n ( x )   c o t g ( x )

o lado esquerdo precisa ser derivado usando a regra da cadeia com g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = f ( x ) , de forma que temos

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d h [ l n ( g ) ] d d x [ f ( x ) ] = 1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ]

como temos que f ( x ) = [ s e n ( x ) ] a r c s e n ( x ) , podemos escrever diretamente que

d d x [ f ( x ) ] = [ s e n ( x ) ] a r c s e n ( x ) { l n [ s e n ( x ) ] 1 - x 2 +   a r c s e n ( x ) c o t g ( x ) }

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ] = [ s e n ( x ) ] a r c s e n ( x ) { l n [ s e n ( x ) ] 1 - x 2 +   a r c s e n ( x ) c o t g ( x ) }

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