Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive

c) h x = sin ⁡ ( ln ⁡ x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função h x = sin ⁡ ( ln ⁡ x ) . Repare que essa é uma função composta, nós temos uma função trigonómetrica e no argumento dela, temos uma função logarítmica.

Parece meio complicado, mas é super simples derivar essa função, porque basta a gente usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que pra derivar uma função composta nós precisamos derivar a função de fora aplicada na de dentro e multiplicar pela função de dentro, ou seja:

h ' x = f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, f x = sin ⁡ ( ln ⁡ x ) e g x = ln ⁡ x . Sacou? Então, basta substituir na fórmula.

Vamos lá!

Passo 2

Nós sabemos que a derivada do seno de alguma coisa é igual ao cosseno dessa mesma coisa. Além disso, a gente sabe que a derivada do ln de alguma coisa é igual a 1 sobre essa mesma coisa. São derivadas tabeladas.

Então, fica fácil a gente resolver usando a regra da cadeia. Vamos primeiro derivar a função de fora, que é o seno e multiplicar pela derivada da função de dentro:

h ' x = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ∙ ln ⁡ x '

Agora derivando a função de dentro, que é o ln ⁡ x , vamos ter:

h ' x = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ∙ 1 x

h ' x = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x

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