Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

10 .   f ( x ) = e x x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = e x x

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Aqui a primeira coisa que nos será útil é lembrar a seguinte propriedade do logaritmo, temos que

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = h ( x )   l n ( g ( x ) )

Portanto, podemos escrever que

l n [ f ( x ) ] = l n e x x ] = x x   l n ( e )

lembrando que o logarítmo neperiano é a inversa da função exponencial, portanto

l n [ e g ( x ) ] = g ( x )

obtemos então

l n [ f ( x ) ] = x x   ( 1 )   = x x

bem mais simples do que o produto que tínhamos antes, não é? Vamos começar a derivar agora!

Passo 3

Antes de derivarmos essa função é conveniente aplicarmos novamente a função logarítmica para obter

l n { l n [ f ( x ) ] } = l n ( x x )

usando novamente a propriedade do logaritmo para tombar o expoente, temos que

l n { l n [ f ( x ) ] } = x   l n ( x )

Agora, vamos derivar ambos os lados! Aplicando o operador derivada, obtemos que

d d x { l n { l n [ f ( x ) ] } } = d d x [ x   l n ( x ) ]

O lado esquerdo precisa ser expandido usando a regra da cadeia e o lado direito usando a regra do produto! Começando com o lado direito, temos que

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

portanto, obtemos que

d d x [   x   l n ( x ) ] = d d x [ x ] l n ( x ) + x d d x [ l n ( x ) ] = l n ( x ) + 1

usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

e a derivada logarítmica que apresentei no passo 1 , temos que

d d x { l n { l n [ f ( x ) ] } } = l n ( x ) + 1

Para a outra derivada vamos precisar da regra da cadeia! Lembra dela? Vem comigo!

Passo 4

Para a outra derivada, temos uma função composta da forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) , portanto devemos derivá-las usando que

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

identificando que g ( h ) = l n ( h ) e que h ( x ) = l n [ f ( x ) ] , temos que

d d x [ l n ( l n ( f ( x ) ) ) ] = d d h [ l n [ h ] ] d d x [ l n [ f ( x ) ] ]

usando a derivada logarítmica que apresentei no passo 1 podemos escrever que

d d h [ l n [ h ] ] = 1 h = 1 l n [ f ( x ) ]

Portanto

d d x [ l n ( l n ( f ( x ) ) ) ] = 1 l n [ f ( x ) ] d d x [ l n [ f ( x ) ] ]

se aplicarmos novamente a regra da cadeia, mas agora para g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = f ( x ) , temos que

d d x [ l n [ f ( x ) ] ] = 1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ]

E, desta forma podemos escrever finalmente que

d d x [ l n ( l n ( f ( x ) ) ) ] = 1 l n [ f ( x ) ] 1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ]

Vamos usar esse resultado em nossa derivada original! Saca só!

Passo 5

Juntando os resultados obtidos antes, temos que

1 l n [ f ( x ) ] 1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ] = l n ( x ) + 1

E, como temos que f ( x ) = e x x , obtemos simplesmente

d d x [ f ( x ) ]   = l n [ e x x ] e x x [ l n ( x ) + 1 ] = x x e x x [ l n ( x ) + 1 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ]   = x x e x x [ l n ( x ) + 1 ]

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