Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Se f x = ln ⁡ ( x - 1 ) , encontre a derivada f ( 2021 ) ( x ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada f 2021 ( x ) da função f x = ln ⁡ ( x - 1 ) .

Pra isso, vamos calcular algumas derivadas dessa função e verificar a existência de padrões, de modo que a gente consiga definir uma expressão para n - é s i m a derivada e, consequentemente, para a 2021 ª derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando uma vez ( n = 1 ) a função f x = ln ⁡ ( x - 1 ) :

f ' x = 1 x - 1

f ' x = x - 1 - 1

Derivando mais uma vez, vamos ter a segunda derivada ( n = 2 ):

f ' ' x = x - 1 - 1 '

f ' ' x = - 1 ( x - 1 ) - 1 - 1 = - x - 1 - 2

Derivando novamente, temos a terceira derivada ( n = 3 ):

f ' ' ' x = 2 x - 1 - 2 - 1

f ' ' ' x = 2 x - 1 - 3

Agora vamos calcular a quarta derivada dessa função:

f ( 4 ) = 2 ∙ - 3 x - 1 - 3 - 1

f ( 4 ) = - 6 x - 1 - 4

Passo 3

Agora que já calculamos as 4 derivadas, podemos notar alguns padrões como:

- O sinal está alternando entre positivo e negativo. Logo, ele pode ser escrito como - 1 n - 1

- Aparece sempre um número antes do fator ( x - 1 ) e esse número pode ser calculado como n - 1 !

- O fator x - 1   tem sempre um expoente negativo, que pode ser representado por - n . Então, nós podemos escrever x - 1 - n .

Com tudo que pudemos notar, podemos escrever a fórmula para f n ( x ) :

f n x = - 1 n - 1 n - 1 ! x - 1 - n

Sendo assim, para f ( 2021 ) ( x ) , vamos ter:

f 2021 x = - 1 2021 - 1 2021 - 1 ! x - 1 - 2021

f 2021 x = - 1 202 0 202 0 ! x - 1 - 2021

f 2021 x = 2020 ! x - 1 - 2021

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2020 ! x - 1 - 2021

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