Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive

d) y = x x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função y = x x . Repare que essa é uma função composta, nós temos a função polinomial elevada a outra função polinomial ( x 1 / 2 ).

Pra derivar essa função, nós vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que nos diz que pra derivar uma função composta nós precisamos derivar a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicar pela função de dentro, ou seja:

f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Mas antes de aplicar a regra da cadeia, vamos usar um artifício para nos ajudar. Vamos escrever a função na forma exponencial:

y = e ln ⁡ x x

A gente pode fazer isso porque o ln é a função inversa de e , então não altera em nada nossa função. Assim, vamos conseguir derivar a função exponencial, que será nossa f ( g x ) , e derivar a função de dentro aplicando a regra da cadeia.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar usando as propriedades de logaritmos para escrever:

y = e ln ⁡ x x = e x ln ⁡ x

Assim, usando a regra da cadeia, nossa derivada terá a forma:

y ' = e ln ⁡ x x ∙ x ln ⁡ x '

A derivada da exponencial é sempre igual a ela mesma, por isso não tivemos alterações quando derivamos a função de fora. Agora na derivada da função de dentro, que é x ln ⁡ x , nós temos um produto. Então, precisamos aplicar também a regra do produto ( f ∙ g ' = f ' g + f g ' ). Fica assim:

y ' = e ln ⁡ x x ∙ x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x '

Derivando a raiz e o ln:

y ' = e ln ⁡ x x ∙ 1 2 x   ln ⁡ x + x 1 x

Simplificando, temos:

y ' = e ln ⁡ x x ∙   ln ⁡ x 2 x + 1 x

y ' = x x   ln ⁡ x 2 x + 1 x

Protinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x x   ln ⁡ x 2 x + 1 x

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