Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

Ver Teoria

Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

12 .   f ( x ) = l o g 2 x 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = l o g 2 x 2

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Aqui a primeira coisa que nos será útil é lembrar a seguinte propriedade do logaritmo, temos que

l o g 2 [ g ( x ) h ( x ) ] = h ( x )   l o g 2 ( g ( x ) )

Portanto, podemos escrever que

f ( x ) = 2   l o g 2 ( x )

se derivarmos em ambos os lados, temos que

d d x [ f ( x ) ] = 2 d d x [ l o g 2 ( x ) ]

Para usarmos a derivação logarítmica, vamos lembrar da propriedade de mudança de base do logaritmo, temos que

l o g a ( b ) = l o g c ( b ) l o g c ( a )

Consegue ver a maneira de relacionar a derivada apresentada no passo 1 com o nosso problema usando essa propriedade? Saca só!

Passo 3

Se eu escolher a nova base como a base neperiana, ou seja, escolher que c = e , temos que

l o g 2 ( x ) = l o g e ( x ) l o g e ( 2 ) = l n ( x ) l n ( 2 )

A nossa derivada pode ser escrita então como

d d x [ f ( x ) ] = 2 l n   ( 2 ) d d x [ l n ( x ) ]

Usando a derivada que apresentamos no primeiro passo, temos que

d d x [ f ( x ) ] = 2 l n   ( 2 )   x

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ] = 2 l n   ( 2 )   x

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que underset(n - oo)(lim) (1 + (x)/(n))^n = e^x , para qualquer xo
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ ( 3 θ e - θ )
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ ( 2 e - t sen ⁡ t )
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = x 2 + 1 x - 1 2
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = t ( t + 1 ) ( t + 2 )