Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

11 .   f ( x ) = ( x x ) x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = ( x x ) x

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Aqui a primeira coisa que nos será útil é lembrar a seguinte propriedade do logaritmo, temos que

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = h ( x )   l n ( g ( x ) )

Portanto, podemos escrever que

l n [ f ( x ) ] = l n [ ( x x ) x ] = x   l n ( x x )

aplicando a propriedade novamente, temos que

l n [ f ( x ) ] = x   l n ( x x ) = x 2 l n ( x )

bem mais simples do que o produto que tínhamos antes, não é? Vamos começar a derivar agora!

Passo 3

Aplicando o operador derivada em ambos os lados temos que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d x [ x 2 l n ( x ) ]

usando a regra do produto

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

temos que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = d d x [ x 2 ] l n ( x ) + x 2 d d x [ l n ( x ) ]

usando a derivada logarítmica que apresentei no passo 1 , e a lembrando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

podemos escrever que

d d x { l n [ f ( x ) ] } = 2 x   l n ( x ) + x = x [ 2   l n ( x )   + 1 ]

Para a outra derivada vamos precisar da regra da cadeia! Lembra dela? Vem comigo!

Passo 4

Para a outra derivada, temos uma função composta da forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) , portanto devemos derivá-las usando que

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

identificando que g ( h ) = l n ( h ) e que h ( x ) = f ( x ) , temos que

d d x [ l n ( f ( x ) ) ] = d d h [ l n [ h ] ] d d x [ f ( x ) ]

usando a derivada logarítmica que apresentei no passo 1 podemos escrever que

d d h [ l n [ h ] ] = 1 h = 1 f ( x )

Portanto

d d x [ l n ( f ( x ) ) ] = 1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ]

Vamos usar esse resultado em nossa derivada original! Saca só!

Passo 5

Juntando os resultados obtidos antes, temos que

1 f ( x ) d d x [ f ( x ) ] = x ( 2   l n ( x ) + 1 )

E, como temos que f ( x ) = ( x x ) x , obtemos simplesmente

d d x [ f ( x ) ]   = ( x x ) x x ( 2   l n ( x )   + 1 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ]   = ( x x ) x x ( 2   l n ( x )   + 1 )

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