Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2013.1 – 3

Use a diferenciação logarítmica para determinar a derivada da função:

y = y x = cos ⁡ x sen ⁡ x   ,             0 < x < π 2

Passo 1

Vamos lá, seguimos o que ele pediu: diferenciação logarítmica. É um processo que não tem nada demais, basta lançar o logaritmo na igualdade:

ln ⁡ y x = ln ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar as propriedades do logaritmo:

ln ⁡ y x = sen ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x )

Passo 3

Agora fazemos uma derivação implícita do lado esquerdo e usamos a Regra do Produto e a Regra da Cadeia do lado direito.

ln ⁡ y x ' = sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x '

1 y x y ' x = cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x ( - sen ⁡ x )

Passo 4

Repara que se passarmos y ( x ) para o outro lado teremos a derivada, que é o que o foi pedido lá em cima. Então, sabendo que y x = cos ⁡ x sen ⁡ x , passamos ele multiplicando:

y ' x = cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x - sen ⁡ x

y ' x = cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

É esse troço feio aí o resultado!

Resposta

y ' x = cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

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