Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada:

y = x + 1 x

Passo 1

Como o enunciado nos pediu, vamos usar a derivada logarítmica. Então, primeiro vamos aplicar o logaritmo dos dois lados

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 x

Passo 2

Pela propriedade do logaritmo, temos:

ln ⁡ x + 1 x = x ln ⁡ x + 1

Passo 3

Então queremos achar a derivada:

ln ⁡ y ' = x ln ⁡ x + 1 '

Derivamos pela Regra do Produto a função de x e usamos a derivada implícita na função de y :

y ' y = x ' ln ⁡ x + 1 + x ln ⁡ x + 1 '

Usando a regra da cadeia para o termo ln ⁡ ( x + 1 ) , temos

y ' = y 1 ln ⁡ x + 1 + x x + 1 ' x + 1

= y ln ⁡ x + 1 + x x + 1

Passo 4

Substituindo o y de volta:

y = x + 1 x

y ' = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x x + 1

Resposta

y ' = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x x + 1

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