Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Calcule a derivada das seguintes funções:

c y = x x

Passo 1

Essa derivada aí tem que ser feita por um dos métodos envolvendo a derivação logarítmica. Vou fazer pela propriedade da exponencial, mas você pode fazer pela derivada implícita aplicando o log dos dois lados:

y = x x = e ln ⁡ x x = e x . ln ⁡ x

Nesse novo formato aí, basta a gente aplicar a Regra da Cadeia na exponencial.

Passo 2

Usando a Regra da Cadeia:

y ' = e x . ln ⁡ x ' = x . ln ⁡ x ' e x . ln ⁡ x

Para a derivada que sobrou, da raiz multiplicada pelo log, temos que usar a Regra do Produto:

y ' = x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x '   e x . ln ⁡ x

= 1 2 x ln ⁡ x + x 1 x   e x . ln ⁡ x

Passo 3

Rearrumando:

= ln ⁡ x 2 x + 1 x   e x . ln ⁡ x

= e x . ln ⁡ x 2 x ln ⁡ x + 2

Resposta

y ' = e x . ln ⁡ x 2 x ln ⁡ x + 2

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