Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

b) Derive

cos ⁡ x x 2

Passo 1

Quando vemos uma função do tipo, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é usar propriedades da exponencial. Dá uma olhada que sagaz:

f x = e ln ⁡ f x

Bem, já que é assim, seja:

f x = cos ⁡ x x 2

Então vamos ter:

f x = e ln ⁡ cos ⁡ x x 2 = e x 2   ∙   ln ⁡ cos ⁡ x

Quer ver porque isso facilita nossa vida? Dá uma olhada nessa regra de derivação para exponenciais:

d d x e g x = e g x ∙ g ' x

E não é que essa regra se aplica aqui? Se fizermos

g x = x 2   ∙   ln ⁡ cos ⁡ x

Calculamos g ' x pela regra do produto, e logo:

g ' x = x 2   ' ln ⁡ cos ⁡ x + x 2 ln ⁡ cos ⁡ x '

Usando a regra da cadeia para derivar ln ⁡ cos ⁡ x ' , ficamos com

g ' x = 2 x   ln ⁡ cos ⁡ x + x 2 cos ⁡ x cos ⁡ x '

g ' x = 2 x   ln ⁡ cos ⁡ x + x 2 cos ⁡ x - sin ⁡ x

g ' x = 2 x   ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 tan ⁡ x

A derivada fica então:

d d x e x 2   ∙   ln ⁡ cos ⁡ x = e x 2   ∙   ln ⁡ cos ⁡ x ∙ 2 x   ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 tan ⁡ x

Mas como

e x 2   ∙   ln ⁡ cos ⁡ x = cos ⁡ x x 2

Vamos ter que:

d d x cos ⁡ x x 2 = cos ⁡ x x 2 ∙ 2 x   ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 tan ⁡ x

Resposta

d d x cos ⁡ x x 2 = cos ⁡ x x 2 ∙ 2 x   ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 tan ⁡ x

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