Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

10)

f x = e x x

Passo 1

Cara, precisamos derivar essa função composta.

Epa! Se é composta, já significa uma coisa... Teremos que utilizar a regra da cadeia. Mas eu quero te dizer para não se preocupar. Ela é bem tranquila, veja:

1º - Precisamos identificar a função que está por fora e derivar tendo como o argumento a função mais interna.

2º - Multiplicar pela derivada da função mais interna.

No nosso caso, a função mais externa de todas é o exponencial tendo como argumento a função mais interna x x .

Passo 2

f x = e x x   →

Derivando a mais externa primeiro (o exponencial)...

f ' x = e x x ⋅ x x '

Observe duas coisas: uma que derivamos o exponencial, mas colocamos a função de dentro como argumento dele repetindo, como se em

e t ' = e t

Mas no lugar de t , colocamos a função x x .

Porém, e agora entra a segunda coisa a ser observado, multiplicamos pela derivada da de dentro, saca? E essa é a regra da cadeia pra dar aquela lembrada

Passo 3

Cara, para prosseguirmos com a derivada:

f ' x = e x x ⋅ x x '

Bem, repare que temos x elevado ao x . Não é a exponencial que sabemos calcular de cara. Precisamos então seguir o conselho do problema e usar derivação logarítmica.

O que significa derivação logarítmica?

Significa que em casos de potências assim (diferentes do exponencial) devemos fazer uma “magia” usando logaritmo natural e a exponencial e para fazer essa potência chegar a algo que sabemos derivar.

Repare que

e ln ⁡ x x = x x

Por propriedade mara das potências. Uma outra propriedade nos garante que

x x = e ln ⁡ x x = e x ln ⁡ x

Substituindo...

f ' x = e x x ⋅ e x ln ⁡ x '

Agora facilitou, pois derivar exponencial sabemos

Passo 4

f ' x = e x x ⋅ e x ln ⁡ x ' →

Aplicando a regra da cadeia novamente...

f ' x = e x x ⋅ e x ln ⁡ x ⋅ x ln ⁡ x '

Agora aplicando a regra do produto...

f ' x = e x x ⋅ e x ln ⁡ x ⋅ x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x ' →

f ' x = e x x ⋅ e x ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ x + x x →

f ' x = e x x ⋅ e x ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ x + 1 →

Como e x ln ⁡ x = x x ...

f ' x = x x e x x ln ⁡ x + 1

Resposta

f ' x = x x e x x ln ⁡ x + 1

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