Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2013.1 – 3

Use a diferenciação logarítmica para determinar a derivada da função:

y = y x = cos x sen x   ,             0 < x < π 2

Passo 1

Vamos lá, seguimos o que ele pediu: diferenciação logarítmica. É um processo que não tem nada demais, basta lançar o logaritmo na igualdade:

ln y x = ln cos x sen x

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Passo 2

Vamos usar as propriedades do logaritmo:

ln y x = sen x ln ( cos x )

Passo 3

Agora fazemos uma derivação implícita do lado esquerdo e usamos a Regra do Produto e a Regra da Cadeia do lado direito.

ln y x ' = sen x ln cos x '

1 y x y ' x = cos x ln cos x + sen x 1 cos x ( - sen x )

Passo 4

Repara que se passarmos y ( x ) para o outro lado teremos a derivada, que é o que o foi pedido lá em cima. Então, sabendo que y x = cos x sen x , passamos ele multiplicando:

y ' x = cos x sen x cos x ln cos x + sen x 1 cos x - sen x

y ' x = cos x sen x cos x ln cos x - sen 2 x cos x

É esse troço feio aí o resultado!

Resposta

y ' x = cos x sen x cos x ln cos x - sen 2 x cos x

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