Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

(2,5 pts) Resolva o PVI

y ' ' + y ' + 5 4 y = 1 - u π t ,       y 0 = 1 ,     y ' 0 = - 1 .

Passo 1

Opa, vamos lá. Nessa questão, quando a gente vê a função degrau e os valores iniciais já começa a ecoar transformada de Laplace nos nossos ouvidos, né

Vamos então resolver essa EDO assim?

L y ' ' + y ' + 5 4 y = L 1 - u π t

Bom, vamos ver como fica a transformada de Laplace para cada termo:

L y ' ' ( t ) = s 2 L y t - s   y 0 - y ' 0 = s 2 L y t - s + 1

L y ' t = s L y t - y 0 = s L y t - 1

L y t = L y t

L 1 = 1 s

L u π = e - π s s

Substituindo tudo isso na expressão:

s 2 L y t - s + 1 + s L y t - 1 + 5 4 L y t = 1 s - e - π s s

L y t s 2 + s + 5 4 - s = 1 - e - π s s

L y t = 1 s s 2 + s + 5 4 - e - π s s s 2 + s + 5 4 + s s 2 + s + 5 4

L y t = 1 - e - π s s s 2 + s + 5 4 + s s 2 + s + 5 4

Vamos começar pensando no primeiro termo:

1 - e - π s s s 2 + s + 5 4 = 1 - e - π s . 1 s s 2 + s + 5 4

Esse denominador na forma que está não tem uma transformada muito clara. Então, podemos separar em frações parciais da seguinte forma:

1 s s 2 + s + 5 4 = A s + B s + C s 2 + s + 5 4 → A s 2 + A s + 5 4 A + B s 2 + C s = 1

A + B = 0

A + C = 0

5 4 A = 1 → A = 4 5

B = C = - 4 5

Então,

1 s s 2 + s + 5 4 = 4 5 1 s - 4 5 s + 1 s 2 + s + 5 4 = 4 5 1 s - 4 5 s + 1 s + 1 2 2 + 1

Voltando à estrutura do primeiro termo:

1 - e - π s s s 2 + s + 5 4 = 1 - e - π s 4 5 1 s - 4 5 s + 1 s + 1 2 2 + 1 = 4 5 1 s - s + 1 s + 1 2 2 + 1 - 4 5 e - π s s + e - π s s + 1 s + 1 2 2 + 1

= 4 5 1 s - 4 5 s + 1 s + 1 2 2 + 1 - 4 5 e - π s s - 4 e - π s 5 s + 1 s + 1 2 2 + 1

Para calcularmos a inversa dessas funções, vamos olhar a tabela de transformadas dec Laplace.

Pra primeira função, temos:

L - 1 4 5 1 s = 4 5

Já pra segunda, temos um trabalhinho adicional porque temos que rearrumar a função:

L - 1 4 5 s + 1 s + 1 2 2 + 1 = L - 1 4 5 s + 1 2 + 1 2 s + 1 2 2 + 1

= L - 1 4 5 s + 1 2 s + 1 2 2 + 1 + 1 2 s + 1 2 2 + 1

= L - 1 4 5 s + 1 2 s + 1 2 2 + 1 + 2 5 1 s + 1 2 2 + 1 = 4 5 e - 1 2 t cos ⁡ t + 2 5 e - 1 2 t sen ⁡ t

A terceira também é rapidinha de resolver

L - 1 4 5 e - π s s = 4 5 u π t

E faltou só a quarta função, que tem dentro dela a segunda, já calculada:

L - 1 4 e - π s 5 s + 1 s + 1 2 2 + 1 = u π t   4 5 e - 1 2 t - π cos ⁡ t - π + 2 5 e - 1 2 t - π sen ⁡ t - π

u π t   4 5 e - 1 2 t + π 2 cos ⁡ t - π + 2 5 e - 1 2 t + π 2 sen ⁡ t - π

Logo, a transformada inversa do primeiro termo será:

L - 1 1 - e - π s s s 2 + s + 5 4 = 4 5 - 4 5 e - 1 2 t cos ⁡ t - 2 5 e - 1 2 t sen ⁡ t - 4 5 u π t - u π t   4 5 e - 1 2 t + π 2 cos ⁡ t - π + 2 5 e - 1 2 t + π 2 sen ⁡ t - π

= 4 5 1 - e - 1 2 t cos ⁡ t - e - 1 2 t sen ⁡ t 2 - u π t - u π t   e - 1 2 t + π 2 cos ⁡ t - π + e - 1 2 t + π 2 sen ⁡ t - π 2

E finalmente:

= 4 5 1 - e - 1 2 t cos ⁡ t - e - 1 2 t sen ⁡ t 2 - u π t   1 + e π - t 2 cos ⁡ t - π + e π - t 2 sen ⁡ t - π 2

Passo 2

Eita que esse primeiro termo foi puxado de calcular. O segredo é ir fazendo aos pouquinhos, um pedaço de cada vez, senão a gente se enrola!! Agora, vamos pensar no segundo termo e torcer pra ser mais tranquilo, né?

s s 2 + s + 5 4 = s s + 1 2 2 + 1

Vamos olhar algo parecido na nossa tabela de transformadas de Laplace.

Bom, para ficar da forma como está na tabela, podemos somar e subtrair 1 / 2 do numerador.

s s + 1 2 2 + 1 = s + 1 2 - 1 2 s + 1 2 2 + 1 = s + 1 2 s + 1 2 2 + 1 - 1 2 1 s + 1 2 2 + 1

Vamos calcular agora a transformada inversa desses dois termos:

L - 1 s + 1 2 s + 1 2 2 + 1 = e - 1 2 t cos ⁡ t

L - 1 1 2 1 s + 1 2 2 + 1 = 1 2 e - 1 2 t sen ⁡ t

Logo a transformada inversa do segundo termo é:

L - 1 s s + 1 2 2 + 1 = e - 1 2 t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2  

Passo 3

Ufa!! Agora que já temos as transformadas de Laplace inversa dos dois termos, podemos juntá-las para acharmos a nossa solução.

L y t = 1 - e - π s s s 2 + s + 5 4 + s s 2 + s + 5 4

y t = L - 1 1 - e - π s s s 2 + s + 5 4 + L - 1 s s 2 + s + 5 4

y t = 4 5 1 - e - 1 2 t cos ⁡ t - e - 1 2 t sen ⁡ t 2 - u π t   1 + e π - t 2 cos ⁡ t - π + e π - t 2 sen ⁡ t - π 2 + e - 1 2 t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2

Essa questão não é simples não. Ela cobra a transformada de Laplace e a transformada inversa de várias formas diferentes. Sei que é bem trabalhosa e a gente precisa estar MUITO atenta(o) para não errar besteira.

E já que conseguimos vencer a questão, temos que comemorar.

Resposta

y t = 4 5 1 - e - 1 2 t cos ⁡ t - e - 1 2 t sen ⁡ t 2 - u π t   1 + e π - t 2 cos ⁡ t - π + e π - t 2 sen ⁡ t - π 2 + e - 1 2 t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2

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