Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Resolva o problema de valor inicial

y "   +   4 y '   +   5 y   =   δ ( t - π )   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:

Lembrando que:

L   ( y " )   =   s 2 F ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

L y ' = s F s - y ( 0 )

L y = F s

L   δ t - a =   e - a s

Nossa EDO vai ficar então com essa cara:

- y ' 0 - s y 0 + s 2   F s + 4 s   F s - 4 y 0 + 5 F s = - 2 s + s 2   F s + 4 s   F s - 8 + 5 F s =   e - π s

Arrumando melhor   ...

F s =   1 s 2   + 4 s + 5 (   e - π s + 8 + 2 s )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:

F s =   e - π s + 8 + 2 s s 2   + 4 s + 5

Antes saca isso aqui: s 2   + 4 s + 5 = s + 2 2 + 1 .

Arrumando melhor as expressões para ficarem similares às transformadas de funções conhecidas...

Estas aqui já estão do jeito que gostamos.

  e - π s s + 2 2 + 1

2 ( s + 2 ) s + 2 2 + 1

4 s + 2 2 + 1

Passo 3

Estamos prontos para encontrar as transformadas inversas!

Usando: L - 1   e - a s f s =   u a t f ( t - a ) , : L - 1   L f s - a = e a t f L s e n   a t     =   a s 2 +   a 2 L c o s   a t     =   s s 2 +   a 2

L - 1 4 s + 2 2 + 1 = 4 L - 1 1 s + 2 2 + 1 = 4 e - 2 t s e n t

L - 1 e - π s s + 2 2 + 1 = u π L - 1 1 s + 2 2 + 1 ⁡ t - π = u π ( t ) e - 2 ( t - π ) s e n t - π

L - 1 2 ( s + 2 ) s + 2 2 + 1 = 2 L - 1 s + 2 s + 2 2 + 1 = 2 e - 2 t c o s t

Juntando todos esses resultados

y t = L - 1 F s =   4 e - 2 t s e n t + u π t e - 2 t - π s e n t - π + 2 e - 2 t c o s t

Resposta

y t = 4 e - 2 t s e n t + u π t e - 2 t - π s e n t - π + 2 e - 2 t c o s t

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