Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 185, exercício 8 adaptado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

y ' ' + 4 y = 2 δ t - π / 4

y 0 = 0

y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:

L y ' ' + 4 y ( s ) = L 2 δ t - π / 4 s

L y ' ' s + 4 L y s = 2 L δ t - π / 4 s

Temos o seguinte:

L δ t - π / 4 s = e - π s / 4

Aplicando aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + 4 L y s = 2 e - π s / 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar L y ( s ) . Temos y 0 = 0 e y ' 0 = 0 .

s 2 L y s + 4 L y s = 2 e - π s 4

( s 2 + 4 ) L y s = 2 e - π s 4

L y s = e - π s 4 2 s 2 + 4

Passo 3

Já conseguimos reconhecer uma transformada de seno naquela fração ali, não é?

Temos:

2 s 2 + 4 = L sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Portanto

L y s = e - π s 4 L sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Passo 4

Certo, agora como temos uma exponencial “fora” de L , vamos aplicar a seguinte fórmula:

L u c t f t - c s = e - c s L f t ( s )

Para o nosso problema:

L u π 4 t f t - π 4 s = e - π s 4 L sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Agora precisamos encontrar f t - π 4 . Temos:

f t = sen ⁡ ( 2 t )

f t - π 4 = sen ⁡ 2 t - π 4

Ou seja: L u π 4 t sen ⁡ 2 t - π 4 s = e - π s 4 L sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Substituindo na expressão de L [ y ] , temos:

L y s = L u π 4 t sen ⁡ 2 t - π 4 s

Portanto, podemos escrever:

y = u π 4 t sen ⁡ 2 t - π 4

Resposta

y = u π 4 t sen ⁡ 2 t - π 4

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