Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
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Questão 2:
Encontre a solução geral da seguinte equação para :
Na dependência com o tempo . Dica Opcional: Use o princípio de superposição e a transformação de Laplace.
Passo 1
Beleza! Então para resolver a equação, como a própria dica nos fala, devemos aplicar a transformada de Laplace (dos dois lados, heim):
Como a Laplace da soma é a soma das Laplaces...
Agora aqui devemos nos lembrar do seguinte:
Isso é sempre verdade. Outra coisa que é sempre verdade é a Laplace de cosseno e de função degrau:
Logo, substituindo tudo aqui:
Aqui podemos dar uma “arrumada” na casa e simplificar essa expressão isolando o :
Colocando o em evidência:
Então:
Passo 2
SHOW! Mas e agora? Bem agora o que a gente vai fazer é aplicar a Laplace Inversa dos dois lados para determinar que é a solução da equação diferencial :
Logo, como a Laplace inversa de é igual a :
O que vamos fazer então nos próximos passos é determinar a Laplace Inversa de cada uma dessas expressões e substituir aí! Vamos nessa?
AHHH! Mas antes, como em todas elas estamos trabalhando com essa expressão , seria interessante escrevermos essa expressão em forma de quadrados:
Pra isso ser verdade:
Logo:
Ou seja:
E a nossa expressão se escreve dessa forma aqui:
Passo 3
Vamos começar buscando essa primeira Laplace inversa aqui:
Nesse caso, é interessante pensarmos em frações parciais para resolvê-la. Como nesse produto de baixo, temos expressões quadráticas, termos expressões de primeiro grau no nominador:
Pow! É fácil de verificar que:
Afinal de contas apenas multiplicamos e dividimos pelo termo que faltava. O bom disso é que ganhamos o mesmo denominador e agora podemos juntar em uma única fração:
Realizando o produto dentro desses colchetes no nominador:
E como...
Então...
Multiplicando mais um pouco para eliminar agora esses parênteses de cima aí:
Bem, agora podemos juntar os termos semelhantes:
Como pelas frações parciais essas duas expressões aqui devem ser a mesma coisa:
Então isso aqui tem que acontecer:
Mas para isso acontecer, temos que ter as seguintes igualdades de coeficientes:
Onde a gente tira da primeira equação que:
Enquanto da última:
Como não mechemos nas equações do meio, vamos substituir e simplificar nelas:
Multiplicando a equações de cima por :
E somando uma na outra de forma que o lado direito some com o direito, enquanto que o esquerdo com o esquerdo:
Para obter o , basta substituir aqui:
Enquanto que e são:
Show de bolinhas! Então por frações parciais o que obtemos é essa igualdade aqui:
Simplificando um pouquinho separando essas frações:
Veja então que a primeira expressão, basicamente já a identificamos como sendo o cosseno. Porém a segunda, precisamos de um ali no nominador para a expressão quando voltarmos para virar um seno:
Repare que nesse terceiro termo, eu somei e subtraí (isso acontece justamente para ganharmos o no nominador também. Agora isolando isso aí em diferentes frações:
Podemos juntar esses dois últimos termos em um só:
E agora veja que precisamos ter um no nominador para a transformada ser direta . Mas para colocar esse no nominador, temos que o tirar no denominador e é isso que vamos fazer aqui:
Mas a pergunta que não quer calar é: Por que fizemos isso tudo? Pois agora, podemos aplicar a Laplace inversa em cada uma dessas frações de uma forma super direta :
Essas duas primeiras Laplaces inversas aí são seno e cosseno de :
Já essas duas últimas aí, serão e cosseno e seno também de , mas a diferença é que agora temos que multiplicar por uma exponencial de devido a esse aí:
UFA! Que passo enorme! Os demais serão menores, prometo !
Passo 4
Beleza, foca no que queremos aqui:
Encontramos apenas a primeira expressão, mas ainda faltam as três últimas. Vamos aqui calcular a segunda:
Pow, multiplicando por e dividindo por ao mesmo tempo para termos esse aí no nominador (para surgir o seno de ), saca?:
Pw, sabemos que:
E além disso, toda vez que temos uma exponencial dentro da Laplace inversa, isso significa que devemos aplicar essa fórmula aqui:
Onde no nosso caso e é essa expressão aqui: .
Passo 5
Foca novamente no que queremos:
Já calculamos as duas primeiras, agora calculemos essa terceira:
Temos que ter no nominador, para isso, fazemos o seguinte: primeiro, separamos esse aí em :
Segundo, separemos em duas frações diferentes:
Agora pelo mesmo motivo que colocamos o