Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Questão 2:

Encontre a solução geral da seguinte equação para y :

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 52 cos ⁡ 3 t + 12 δ t - 2 π

Na dependência com o tempo t > 0 . Dica Opcional: Use o princípio de superposição e a transformação de Laplace.

Passo 1

Beleza! Então para resolver a equação, como a própria dica nos fala, devemos aplicar a transformada de Laplace (dos dois lados, heim):

L y ' ' + 2 y ' + 5 y = L 52 cos ⁡ 3 t + 12 δ t - 2 π     →

Como a Laplace da soma é a soma das Laplaces...

L y ' ' + 2 L y ' + 5 L y = 52 L cos ⁡ 3 t + 12 L δ t - 2 π  

Agora aqui devemos nos lembrar do seguinte:

L y = Y s

L y ' = s Y s - y 0

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Isso é sempre verdade. Outra coisa que é sempre verdade é a Laplace de cosseno e de função degrau:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2   →

L cos ⁡ 3 t = s s 2 + 3 2

L δ t - c = e - c s   →

L δ t - 2 π = e - 2 π s

Logo, substituindo tudo aqui:

L y ' ' + 2 L y ' + 5 L y = 52 L cos ⁡ 3 t + 12 L δ t - 2 π   →

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 2 s Y s - y 0 + 5 Y s = 52 s s 2 + 3 2 + 12 e - 2 π s →

Aqui podemos dar uma “arrumada” na casa e simplificar essa expressão isolando o Y s :

s 2 Y s + 2 s Y s - 2 y 0 + 5 Y s = 52 s s 2 + 3 2 + 12 e - 2 π s + s y 0 + y ' 0     →

s 2 Y s + 2 s Y s + 5 Y s = 52 s s 2 + 3 2 + 12 e - 2 π s + s y 0 + y ' 0 + 2 y 0     →

Colocando o Y s em evidência:

s 2 + 2 s + 5 Y s = 52 s s 2 + 3 2 + 12 e - 2 π s + y 0 s + 2 + y ' 0     →

Então:

Y s = 52 s s 2 + 3 2 s 2 + 2 s + 5 + 12 e - 2 π s s 2 + 2 s + 5 + y 0 s + 2 s 2 + 2 s + 5 + y ' 0 s 2 + 2 s + 5     →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

SHOW! Mas e agora? Bem agora o que a gente vai fazer é aplicar a Laplace Inversa dos dois lados para determinar y t que é a solução da equação diferencial :

L - 1 Y s = 52 L - 1 s s 2 + 3 2 s 2 + 2 s + 5 + 12 L - 1 e - 2 π s s 2 + 2 s + 5 + L - 1 y 0 s + 2 s 2 + 2 s + 5 + L - 1 y ' 0 s 2 + 2 s + 5     →

Logo, como a Laplace inversa de Y s é igual a y t :

y t = 52 L - 1 s s 2 + 3 2 s 2 + 2 s + 5 + 12 L - 1 e - 2 π s s 2 + 2 s + 5 + y 0 L - 1 s + 2 s 2 + 2 s + 5 + y ' 0 L - 1 1 s 2 + 2 s + 5    

O que vamos fazer então nos próximos passos é determinar a Laplace Inversa de cada uma dessas expressões e substituir aí! Vamos nessa?

AHHH! Mas antes, como em todas elas estamos trabalhando com essa expressão s 2 + 2 s + 5 , seria interessante escrevermos essa expressão em forma de quadrados:

s 2 + 2 s + 5 = s + a 2 + b 2   →

s 2 + 2 s + 5 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2   →

Pra isso ser verdade:

2 a = 1 a 2 + b 2 = 5         →        

Logo:

  a = 1           e       1 + b 2 = 5          

→         b = 2

Ou seja:

s 2 + 2 s + 5 = s + 1 2 + 2 2

E a nossa expressão y t se escreve dessa forma aqui:

y t = 52 L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 + 12 L - 1 e - 2 π s s + 1 2 + 2 2 + y 0 L - 1 s + 2 s + 1 2 + 2 2 + y ' 0 L - 1 1 s + 1 2 + 2 2    

Passo 3

Vamos começar buscando essa primeira Laplace inversa aqui:

L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2

Nesse caso, é interessante pensarmos em frações parciais para resolvê-la. Como nesse produto de baixo, temos expressões quadráticas, termos expressões de primeiro grau no nominador:

L - 1 A s + B s 2 + 3 2 + C s + D s + 1 2 + 2 2

Pow! É fácil de verificar que:

A s + B s 2 + 3 2 + C s + D s + 1 2 + 2 2 = A s + B s + 1 2 + 2 2 s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 + C s + D s 2 + 3 2 s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2     →

Afinal de contas apenas multiplicamos e dividimos pelo termo que faltava. O bom disso é que ganhamos o mesmo denominador e agora podemos juntar em uma única fração:

A s + B s 2 + 3 2 + C s + D s + 1 2 + 2 2 = A s + B s + 1 2 + 2 2 + C s + D s 2 + 3 2 s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2     →

Realizando o produto dentro desses colchetes no nominador:

A s s + 1 2 + 2 2 A s + B s + 1 2 + 2 2 B + C s 3 + 3 2 C s + D s 2 + 3 2 D s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2     →

E como...

s + 1 2 = s 2 + 2 s + 1

Então...

A s s 2 + 2 s + 1 + 2 2 A s + B s 2 + 2 s + 1 + 2 2 B + C s 3 + 3 2 C s + D s 2 + 3 2 D s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2     →

Multiplicando mais um pouco para eliminar agora esses parênteses de cima aí:

A s 3 + 2 A s 2 + A s + 2 2 A s + B s 2 + 2 B s + B + 2 2 B + C s 3 + 3 2 C s + D s 2 + 3 2 D s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2     →

A s 3 + 2 A s 2 + A s + 2 2 A s + B s 2 + 2 B s + B + 2 2 B + C s 3 + 3 2 C s + D s 2 + 3 2 D s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2     →

Bem, agora podemos juntar os termos semelhantes:

A + C s 3 + 2 A + B + D s 2 + A + 2 2 A + 2 B + 3 2 C s + B + 2 2 B + 3 2 D s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2     →

A + C s 3 + 2 A + B + D s 2 + 5 A + 2 B + 9 C s + 5 B + 9 D s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2    

Como pelas frações parciais essas duas expressões aqui devem ser a mesma coisa:

L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 = L - 1 A s + B s 2 + 3 2 + C s + D s + 1 2 + 2 2     →

Então isso aqui tem que acontecer:

s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 = A + C s 3 + 2 A + B + D s 2 + 5 A + 2 B + 9 C s + 5 B + 9 D s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2

Mas para isso acontecer, temos que ter as seguintes igualdades de coeficientes:

A + C = 0 2 A + B + D = 0 5 A + 2 B + 9 C = 1 5 B + 9 D = 0

Onde a gente tira da primeira equação que:

A = - C

Enquanto da última:

5 B + 9 D = 0         →         B = - 9 D 5

Como não mechemos nas equações do meio, vamos substituir e simplificar nelas:

2 A + B + D = 0 5 A + 2 B + 9 C = 1         →

- 2 C - 9 D 5 + D = 0 - 5 C + 2 - 9 D 5 + 9 C = 1         →

- 2 C - 4 D 5 = 0 4 C - 18 D 5 = 1         →

Multiplicando a equações de cima por 2 :

- 4 C - 8 D 5 = 0 4 C - 18 D 5 = 1         →

E somando uma na outra de forma que o lado direito some com o direito, enquanto que o esquerdo com o esquerdo:

4 C - 18 D 5 + - 4 C - 8 D 5 = 1 + 0

- 26 D 5 = 1     →

D = - 5 26

Para obter o C , basta substituir aqui:

- 2 C - 4 D 5 = 0       →         - 2 C - 4 5 - 5 26 = 0   →

- 2 C + 2 13 = 0     →       - 2 C = - 2 13         →           C = 1 13

Enquanto que A e B são:

A = - C             →           A = - 1 13

B = - 9 D 5         →           B = - 9 5 - 5 26 = 9 26

Show de bolinhas! Então por frações parciais o que obtemos é essa igualdade aqui:

L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 = L - 1 A s + B s 2 + 3 2 + C s + D s + 1 2 + 2 2     →

L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 = L - 1 - 1 13 s + 9 26 s 2 + 3 2 + 1 13 s - 5 26 s + 1 2 + 2 2     →

Simplificando um pouquinho separando essas frações:

L - 1 - 1 13 s s 2 + 3 2 + 9 26 1 s 2 + 3 2 + 1 13 s s + 1 2 + 2 2 - 5 26 1 s + 1 2 + 2 2     →

Veja então que a primeira expressão, basicamente já a identificamos como sendo o cosseno. Porém a segunda, precisamos de um 3   ali no nominador para a expressão quando voltarmos para t virar um seno:

L - 1 - 1 13 s s 2 + 3 2 + 3 26 3 s 2 + 3 2 + 1 13 s + 1 - 1 s + 1 2 + 2 2 - 5 26 1 s + 1 2 + 2 2     →

Repare que nesse terceiro termo, eu somei e subtraí 1 (isso acontece justamente para ganharmos o s + 1 no nominador também. Agora isolando isso aí em diferentes frações:

L - 1 - 1 13 s s 2 + 3 2 + 3 26 3 s 2 + 3 2 + 1 13 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 13 1 s + 1 2 + 2 2 - 5 26 1 s + 1 2 + 2 2     →

Podemos juntar esses dois últimos termos em um só:

L - 1 - 1 13 s s 2 + 3 2 + 3 26 3 s 2 + 3 2 + 1 13 s + 1 s + 1 2 + 2 2 + - 1 13 - 5 26 1 s + 1 2 + 2 2     →

L - 1 - 1 13 s s 2 + 3 2 + 3 26 3 s 2 + 3 2 + 1 13 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 7 26 1 s + 1 2 + 2 2     →

E agora veja que precisamos ter um 2 no nominador para a transformada ser direta . Mas para colocar esse 2 no nominador, temos que o tirar no denominador e é isso que vamos fazer aqui:

L - 1 - 1 13 s s 2 + 3 2 + 3 26 3 s 2 + 3 2 + 1 13 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 7 2 ⋅ 26 2 s + 1 2 + 2 2     →

Mas a pergunta que não quer calar é: Por que fizemos isso tudo? Pois agora, podemos aplicar a Laplace inversa em cada uma dessas frações de uma forma super direta :

- 1 13 L - 1 s s 2 + 3 2 + 3 26 L - 1 3 s 2 + 3 2 + 1 13 L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 7 52 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2   →

Essas duas primeiras Laplaces inversas aí são seno e cosseno de 3 t :

- 1 13 cos ⁡ 3 t + 3 26 sin ⁡ 3 t + 1 13 L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 7 52 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2   →

Já essas duas últimas aí, serão e cosseno e seno também de 2 t , mas a diferença é que agora temos que multiplicar por uma exponencial de - 1 t devido a esse s + 1 aí:

- 1 13 cos ⁡ 3 t + 3 26 sin ⁡ 3 t + 1 13 e - t cos ⁡ 2 t - 7 52   e - t sin ⁡ 2 t

UFA! Que passo enorme! Os demais serão menores, prometo !

Passo 4

Beleza, foca no que queremos aqui:

y t = 52 L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 + 12 L - 1 e - 2 π s s + 1 2 + 2 2 + y 0 L - 1 s + 2 s + 1 2 + 2 2 + y ' 0 L - 1 1 s + 1 2 + 2 2    

Encontramos apenas a primeira expressão, mas ainda faltam as três últimas. Vamos aqui calcular a segunda:

L - 1 e - 2 π s s + 1 2 + 2 2 =

Pow, multiplicando por 2 e dividindo por 2 ao mesmo tempo para termos esse 2 2 aí no nominador (para surgir o seno de 2 t ), saca?:

1 2 L - 1 2 e - 2 π s s + 1 2 + 2 2

Pw, sabemos que:

1 2 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2 = 1 2 e - t sin ⁡ 2 t

E além disso, toda vez que temos uma exponencial dentro da Laplace inversa, isso significa que devemos aplicar essa fórmula aqui:

L - 1 e - c s ⋅ F s = u c t ⋅ f t - c

Onde no nosso caso c = 2 π e f t é essa expressão aqui: 1 2 e - t sin ⁡ 2 t .

1 2 L - 1 2 e - 2 π s s + 1 2 + 2 2 = 1 2 u 2 π t ⋅ e - t - 2 π sin ⁡ 2 t - 2 π

Passo 5

Foca novamente no que queremos:

y t = 52 L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 + 12 L - 1 e - 2 π s s + 1 2 + 2 2 + y 0 L - 1 s + 2 s + 1 2 + 2 2 + y ' 0 L - 1 1 s + 1 2 + 2 2    

Já calculamos as duas primeiras, agora calculemos essa terceira:

L - 1 s + 2 s + 1 2 + 2 2 =

Temos que ter S + 1 no nominador, para isso, fazemos o seguinte: primeiro, separamos esse s + 2 aí em s + 1 + 1 :

L - 1 s + 1 + 1 s + 1 2 + 2 2 =

Segundo, separemos em duas frações diferentes:

= L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 2 + L - 1 1 s + 1 2 + 2 2 =

Agora pelo mesmo motivo que colocamos o 2 e retiramos no passo anterior, devemos fazer aqui também:

= L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 2 + 1 2 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2 =

Finalmente, ambas gerarão cosseno e seno de 2 t , mas com uma exponencial de - 1 t do lado:

= e - t cos ⁡ 2 t + 1 2 e - t sin ⁡ 2 t

Passo 6

Agora temos que calcular a última expressão:

L - 1 1 s + 1 2 + 2 2 =

1 2 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2 = 1 2 e - t sin ⁡ 2 t

Passo 7

Foca novamente no que queremos:

y t = 52 L - 1 s s 2 + 3 2 s + 1 2 + 2 2 + 12 L - 1 e - 2 π s s + 1 2 + 2 2 + y 0 L - 1 s + 2 s + 1 2 + 2 2 + y ' 0 L - 1 1 s + 1 2 + 2 2