Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Questão 4: Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema

y ' ' + 2 y ' + 5 y = u π sin ⁡ x + δ π x cos ⁡ x   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

Onde u π x é a função degrau unitário com singularidade em π e δ π x é a função delta de Dirac com singularidade em π .

Passo 1

A gente vai começar o nosso problema aplicando Laplace em si na nossa equação:

L y ' ' + 2 y ' + 5 y s = L u π sin ⁡ x + δ π x cos ⁡ x s

Após a gente encontrar a Transformada desses dois lados da igualdade, a gente isola o Y s e aplica a transformada inversa para obter a solução da EDO. Vamos nessa?

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Passo 2

Aqui, vamos nos dedicar apenas ao lado esquerdo da equação do Passo 1:

L y ' ' + 2 y ' + 5 y s

Ora, a transformada da soma é a soma das transformadas (e o produto por uma constante é a constante vezes a transformada), ou seja:

L y ' ' + 2 y ' + 5 y s = L y ' ' s + 2 L y ' s + 5 L y s

Lembrando que a transformada de y é L y s = Y s , a transformada da segunda derivada é:

L y ' ' s = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

E da primeira derivada...

L y ' s = s Y s - y 0

Portanto...

L y ' ' + 2 y ' + 5 y s = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 2 s Y s - y 0 + 5 Y s     →

Substituindo as condições iniciais do enunciado...

L y ' ' + 2 y ' + 5 y s = s 2 Y s - 1 + 2 s Y s + 5 Y s   →

L y ' ' + 2 y ' + 5 y s = s 2 + 2 s + 5 Y s - 1

Passo 3

Agora vamos trabalhar com a Laplace do outro lado da equação do passo 1:

L u π sin ⁡ x + δ π x cos ⁡ x s = L u π sin ⁡ x s + L δ π x cos ⁡ x s

Ora! Quem é o Laplace de uma função degrau vezes uma função f ? Por uma consulta a tabelinha de Laplace...

L u a f t - a = e - a s F s

Então, dado a transformada do seno, a gente sabe que:

L u π sin ⁡ x - π = e - π s 1 s 2 + 1

Mas poxa, a gente não quer isso, e sim a transformada L u π sin ⁡ x . O que fazer pra consertar esse detalhe? Sim! Usar a trigonometria a nosso favor, pois sabemos que:

sin ⁡ x - π = sin ⁡ x cos ⁡ π + sin ⁡ π cos ⁡ x   →

sin ⁡ x - π = - sin ⁡ x

Então:

L u π sin ⁡ x = - L u π sin ⁡ x - π = - e - π s 1 s 2 + 1

Enquanto isso...

L δ π x cos ⁡ x s = e - π s cos ⁡ π = - e - π s

Logo, concluímos que:

L u π sin ⁡ x + δ π x cos ⁡ x s = - e - π s s 2 + 1 - e - π s

Passo 4

Então, juntando esses dois passos, a gente conclui que:

L y ' ' + 2 y ' + 5 y s = L u π sin ⁡ x + δ π x cos ⁡ x s   →

s 2 + 2 s + 5 Y s - 1 = - e - π s s 2 + 1 - e - π s     →

s 2 + 2 s + 5 Y s = - e - π s s 2 + 1 - e - π s + 1   →

Y s = - e - π s s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 - e - π s s 2 + 2 s + 5 + 1 s 2 + 2 s + 5

Basicamente, a gente agora vai buscar a Laplace inversa disso aí e o nosso problema estará terminado, já que:

L - 1 Y s = y x = L - 1 - e - π s s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 - e - π s s 2 + 2 s + 5 + 1 s 2 + 2 s + 5

Nos próximos   3 passos, a gente vai procurar a transformada inversa de cada um desses termos!

Passo 5

Vamos começar aqui com o que aparenta ser o mais fácil:

L - 1 1 s 2 + 2 s + 5

Ora, essa fração está em uma notação horrível! Vamos começar tentando encontrar alguma fração que a gente siba a transformada inversa. Para isso, vamos lembrar que s + 1 2 = s 2 + 2 s + 1 , logo:

L - 1 1 s 2 + 2 s + 5 = L - 1 1 s + 1 2 + 4 =

L - 1 1 s + 1 2 + 2 2

Pois bem, a Laplace do seno é assim:

L sin ⁡ a x = a s 2 + a 2

Então, se a gente multiplicar essa função (e dividir) por 2 ...

1 2 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2

A gente quase vai ter a transformada do seno de 2 x . Eu digo quase, pois tem esse s - 1 ali). Ora, toda vez que a gente tem um deslocamento em s , é porque a função em x foi multiplicada por uma exponencial:

L e b x sin ⁡ a x = a s - b 2 + a 2

Então...

L - 1 1 s + 1 2 + 2 2 = 1 2 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2 =

1 2 e - x sin ⁡ 2 x

Passo 6

Agora, em contrapartida, vamos calcular essa daqui:

L - 1 e - π s s 2 + 2 s + 5

Beleza, sabemos que:

1 s 2 + 2 s + 5 = 1 2 ⋅ 2 s + 1 2 + 2 2

Outra coisa que também já sabemos, pois já utilizamos, é a Laplace de uma função degrau:

L u a f x - a = e - a s F s

Ou seja...

u a f x - a = L - 1 e - a s F s

No nosso caso, a = π e:

F s = 1 2 ⋅ 2 s + 1 2 + 2 2               →             D o   p a s s o   a n t e r i o r             →                 f x = 1 2 e - x sin ⁡ 2 x

Logo, no lugar de x , vamos colocar x - π ...

L - 1 e - π s s 2 + 2 s + 5 = u π f x - π = u π 1 2 e - x - π sin ⁡ 2 x - π

L - 1 e - π s s 2 + 2 s + 5 = 1 2 u π e π e - x sin ⁡ 2 x - 2 π

Como sin ⁡ 2 x - 2 π = sin ⁡ 2 x cos ⁡ - 2 π + sin ⁡ - 2 π cos ⁡ 2 x = sin ⁡ 2 x ...

L - 1 e - π s s 2 + 2 s + 5 = 1 2 u π e π e - x sin ⁡ 2 x

Passo 7

Por fim, vamos para a transformada inversa mais chatinha:

L - 1 e - π s s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = L - 1 e - π s 1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1

Novamente, a gente vai aplicar:

u a f x - a = L - 1 e - a s F s

Mas para isso, precisamos saber que é a f x , ou seja, a transformada inversa de F s . Como temos um produto, que tal fazermos por frações parciais?

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = A s + B s 2 + 2 s + 5 + C s + D s 2 + 1       →

Colocando sob o mesmo denominador comum:

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = A s + B s 2 + 1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 + s 2 + 2 s + 5 ( C s + D ) s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1       →

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = A s + B s 2 + 1 + s 2 + 2 s + 5 ( C s + D ) s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1       →

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = A s 3 + A s + B s 2 + B + C s 3 + D s 2 + 2 C s 2 + 2 D s + 5 C s + 5 D s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 →

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = A + C s 3 + B + D + 2 C s 2 + A + 2 D + 5 C s + B + 5 D s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 →

Comparando:

A + C s 3 + B + D + 2 C s 2 + A + 2 D + 5 C s + B + 5 D = 1

Então:

A + C = 0

B + D + 2 C = 0

A + 2 D + 5 C = 0

B + 5 D = 1

Resolvendo esse sistema:

A + C = 0 B + D + 2 C = 0 A + 2 D + 5 C = 0 B + 5 D = 1               →                   A + C = 0 B + D + 2 C = 0 2 D + 4 C = 0 B + 5 D = 1             →           c o m o       2 C = - B - D             →

2 D + 2 2 C = 0 B + 5 D = 1                 →             2 D + 2 - B - D = 0 B + 5 D = 1                 →

  2 D - 2 B - 2 D = 0 B + 5 D = 1           →             B = 0       e   D = 1 / 5

C = - D 2 = - 1 / 10

A = - C = 1 10

Então:

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = 1 10 s s 2 + 2 s + 5 + - 1 10 s + 1 5 s 2 + 1       →

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = 1 10 s s 2 + 2 s + 5 - 1 10 s s 2 + 1 + 1 5 1 s 2 + 1   →

Como sabemos, o s 2 + 2 s + 5 = s + 1 2 + 4 ...

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = 1 10 s s + 1 2 + 2 2 - 1 10 s s 2 + 1 + 1 5 1 s 2 + 1   →

Como a gente esta buscando a inversa, para facilitar a vida, seria interessante se tivéssemos um s + 1 no nominador, então:

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = 1 10 s + 1 - 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 10 s s 2 + 1 + 1 5 1 s 2 + 1   →

1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = 1 10 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 10 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 10 s s 2 + 1 + 1 5 1 s 2 + 1  

Aplicando Laplace inversa nisso aí, lembrando-se de que:

L e a x f x = F s - a       ,           F s = L sin ⁡ b x = b s 2 + b 2       e         F s = L cos ⁡ b x = s s 2 + b 2

L - 1 1 10 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 10 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 10 s s 2 + 1 + 1 5 1 s 2 + 1 =

L - 1 1 10 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - 1 20 2 s + 1 2 + 2 2 - 1 10 s s 2 + 1 + 1 5 1 s 2 + 1 =

1 10 e - x cos ⁡ 2 x - 1 20 e - x sin ⁡ 2 x - 1 10 cos ⁡ x + 1 5 sin ⁡ x

Se liga, pois ainda não acabou. Queremos mesmo isso aqui:

L - 1 e - π s 1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1

E pela fórmula:

u a f x - a = L - 1 e - a s F s

Portanto, trocando o que é x por x - π ...

L - 1 e - π s 1 s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 = u π 1 10 e - x - π cos ⁡ 2 x - π - 1 20 e - x - π sin ⁡ 2 x - π - 1 10 cos ⁡ x - π + 1 5 sin ⁡ x - π

Passo 8

Finalmente, juntando tudo o que foi falado nos 3 últimos passos:

y x = L - 1 - e - π s s 2 + 2 s + 5 s 2 + 1 - e - π s s 2 + 2 s + 5 + 1 s 2 + 2 s + 5     →

y x = 1 2 e - x sin ⁡ 2 x - 1 2 u π e π e - x sin ⁡ 2 x - u π 1 10 e - x - π cos ⁡ 2 x - π - 1 20 e - x - π sin ⁡ 2 x - π - 1 10 cos ⁡ x - π + 1 5 sin ⁡ x - π

Simplificando um pouquinho esse resultado:

y x = 1 2 e - x sin ⁡ 2 x - 1 2 u π e π e - x sin ⁡ 2 x - u π 1 10 e - x - π cos ⁡ 2 x - π - 1 20 e - x - π sin ⁡ 2 x - 1 10 cos ⁡ x - π - 1 5 sin ⁡ x

Prontinho!

Resposta

y x = 1 2 e - x sin ⁡ 2 x - 1 2 u π e π e - x sin ⁡ 2 x - u π 1 10 e - x - π cos ⁡ 2 x - π - 1 20 e - x - π sin ⁡ 2 x - 1 10 cos ⁡ x - π - 1 5 sin ⁡ x

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