Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

y ' ' + 16 y = g t , y 0 = 0 y ' 0 = 1

Onde g t é nula exceto em [ 0 , π ) , onde vale cos ⁡ 4 t .

Passo 1

Vamos primeiro traduzir o que o enunciado quis dizer por g t é nula em todos os os pontos exceto em 0 , π . Ela seria nula antes de zero se tivesse multiplicada por um degrau centrado na origem ou seja: cos ⁡ 4 t U t

E se torna nula novamente em t = π se subtrairmos por um degrau centrado em π . Então:

g t = cos ⁡ 4 t U t - cos ⁡ 4 t U t - π

Para deixar no formato perfeitinho da transformada: cos ⁡ 4 t - π U t - π

Basta ver que:

cos ⁡ 4 t - π = cos ⁡ 4 t - 2 ⋅ 2 π

Como a função cosseno se repete a cada 2 π unidades, temos: cos ⁡ 4 t - π = cos ⁡ 4 t

Assim, podemos reescrever: g t = cos ⁡ 4 t U t - cos ⁡ 4 t - π U t - π  

Beleza, com g t bem organizado, vamos para EDO agora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação: y ' ' + 16 y = g t

L y ' ' + 16 y = L g t

L y ' ' + 16 L y = L g t

Vamos chamar L y = Y ( s ) para simplificar a escrita e temos que: L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Substituindo os dados iniciais:

L y ' ' = s 2 Y s - 1

Beleza, vamos calcular L g t agora:

L g t = L cos ⁡ 4 t U t - cos ⁡ 4 t - π U t - π =

= L cos ⁡ 4 t U t - L cos ⁡ 4 t - π U t - π

De forma geral, vimos que: L f t - c U t - c = e - c s L f t

Assim: L cos ⁡ 4 t U t = s s 2 + 16

L cos ⁡ 4 t - π U t - π = s e - π s s 2 + 16

Vamos substituir tudo na equação agora:

Passo 3

L y ' ' + 16 L y = L g t

s 2 Y s - 1 + 16 Y s = s s 2 + 16 - s e - π s s 2 + 16

Isolando Y s :

Y s s 2 + 16 = s s 2 + 16 - s e - π s s 2 + 16 + 1

Logo:

Y s = s s 2 + 16 2 - s e - π s s 2 + 16 2 + 1 s 2 + 16

Para encontrar y t , calculamos a transformada inversa disso aí. Temos que: y t = L - 1 s s 2 + 16 2 - s e - π s s 2 + 16 2 + 1 s 2 + 16 =

= L - 1 s s 2 + 16 2 - L - 1 s e - π s s 2 + 16 2 + L - 1 1 s 2 + 16

Essa exponencial, soa a degrau como vimos anteriormente, de forma que: L - 1 s s 2 + 16 2 = L - 1 s s 2 + 16 2 t

L - 1 s e - π s s 2 + 16 2 = U t - π ⋅ L - 1 s s 2 + 16 2 t - π

Precisamos calcular essa transformada inversa então para podermos seguir. E para isso, usaremos o produto convolução! Bem, repare que: s s 2 + 16 2 = s s 2 + 16 ⋅ 1 s 2 + 16

Pelo produto convolução, temos:

∫ 0 t f t - τ g τ d τ = f t * g t

Com:

L f t * g t = L f t ⋅ L g t

Então, para f t = cos ⁡ 4 t e g t = sen ⁡ 4 t , temos: s s 2 + 16 2 = s s 2 + 16 ⋅ 1 s 2 + 16 = L cos ⁡ 4 t * sen ⁡ 4 t

Assim:

L - 1 s s 2 + 16 2 = cos ⁡ 4 t * sen ⁡ 4 t = ∫ 0 t cos ⁡ 4 t - τ sen ⁡ 4 τ d τ

= ∫ 0 t cos ⁡ 4 t - 4 τ sen ⁡ 4 τ d τ

Vamos calcular essa integral então. Temos que: cos ⁡ 4 t - 4 τ = cos ⁡ 4 t cos ⁡ 4 τ + sen ⁡ 4 t sen ⁡ 4 τ Logo:

∫ 0 t cos ⁡ 4 t - 4 τ sen ⁡ 4 τ d τ

= ∫ 0 t cos ⁡ 4 t cos ⁡ 4 τ + sen ⁡ 4 t sen ⁡ 4 τ sen ⁡ 4 τ d τ

= ∫ 0 t cos ⁡ 4 t cos ⁡ 4 τ sen ⁡ 4 τ d τ + ∫ 0 t sen ⁡ 4 t sen 2 ⁡ 4 τ d τ

A parte com t , pode ser retirada da integral, pois fica como se fosse uma constante:

= cos ⁡ 4 t ∫ 0 t cos ⁡ 4 τ sen ⁡ 4 τ d τ + sen ⁡ 4 t ∫ 0 t sen 2 ⁡ 4 τ d τ

Agora, vamos usar duas propriedades do seno e cosseno aqui:

sen ⁡ a cos ⁡ a = 1 2 sen ⁡ 2 a

sen 2 ⁡ a = 1 - cos ⁡ 2 a 2

Assim: ∫ 0 t cos ⁡ 4 τ sen ⁡ 4 τ d τ = 1 2 ∫ 0 t sen ⁡ 8 τ ⁡ d τ = - 1 2 ⋅ cos ⁡ 8 τ 8 0 t = - 1 16 cos ⁡ 8 τ 0 t

= - 1 16 cos ⁡ 8 t + 1 16

Além disso:

∫ 0 t sen 2 ⁡ 4 τ d τ = ∫ 0 t 1 - cos ⁡ 8 τ 2 ⁡ d τ = 1 2 ∫ 0 t d τ - 1 2 ∫ 0 t cos ⁡ 8 τ d τ

= 1 2 t - 1 2 sen ⁡ 8 τ 8 0 t = 1 2 t - 1 16 sen ⁡ 8 t

Ufa! Agora é só substituir:

cos ⁡ 4 t ∫ 0 t cos ⁡ 4 τ sen ⁡ 4 τ d τ + sen ⁡ 4 t ∫ 0 t sen 2 ⁡ 4 τ d τ =

= cos ⁡ 4 t 1 16 cos ⁡ 8 t - 1 16 + sen ⁡ 4 t 1 2 t - 1 16 sen ⁡ 8 t

= 1 16 cos ⁡ 8 t cos ⁡ 4 t - 1 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 t sen ⁡ 4 t - 1 16 sen ⁡ 4 t sen ⁡ 8 t

Para simplificar mais, como: cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

Temos:

L - 1 s s 2 + 16 2 = 1 16 cos ⁡ 12 t - 1 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 t sen ⁡ 4 t

E ainda:

L - 1 s e - π s s 2 + 16 2 = U t - π ⋅ L - 1 s s 2 + 16 2 t - π

= 1 16 cos ⁡ 12 t - π - 1 16 cos ⁡ 4 t - π + 1 2 t sen ⁡ 4 t - π U t - π

Seguindo a mesma lógica da periodicidade das funções seno e cosseno a cada 2 π unidades:

L - 1 s e - π s s 2 + 16 2 = 1 16 cos ⁡ 12 t - 1 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 t sen ⁡ 4 t U t - π

Resta agora a última transformada da soma que fizemos lá atrás:

L - 1 1 s 2 + 16

Essa é a inversa do seno e é: L - 1 1 s 2 + 16 = sen ⁡ 4 t

Assim, já temos tudo que precisamos e é só substituir.

Passo 4

y t = L - 1 s s 2 + 16 2 - L - 1 s e - π s s 2 + 16 2 + L - 1 1 s 2 + 16

y t = 1 16 cos ⁡ 12 t - 1 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 t sen ⁡ 4 t -   1 16 cos ⁡ 12 t - 1 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 t sen ⁡ 4 t U t - π + sen ⁡ 4 t

Boa!!

Resposta

y t = 1 16 cos ⁡ 12 t - 1 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 t sen ⁡ 4 t -   1 16 cos ⁡ 12 t - 1 16 cos ⁡ 4 t + 1 2 t sen ⁡ 4 t U t - π + sen ⁡ 4 t

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