Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Considere a equação diferencial de segunda ordem, homogênea,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

Encontre a solução do problema de valor inicial,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 2 e t δ t - π ,   y 0 = y ' 0 = 0 .

Passo 1

Repara naquela função δ t - π . Isso é um delta de Dirac.

É a dica que de que solução dessa EDO pode ser encontrada por Laplace! Primeiro então apliquemos essa transformada em ambos os lados da equação, dessa forma aqui:

L y ' ' - 2 y ' + 5 y = L 2 e t δ t - π             →

L y ' ' + L - 2 y ' + L 5 y = L 2 e t δ t - π             →

L y ' ' - 2 L y ' + 5 L y = 2 L e t δ t - π

Agora vamos ver separada a solução de cada Laplace dessas. Bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro quem é a solução da Laplace da segunda derivada? Não se lembra? É essa daqui oh:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

A Laplace da primeira é bem semelhante, só que...

L y ' = s Y s - y 0

Ora, a Laplace de y é...

L y = Y s

Beleza! Mas vamos complicar um pouquinho mais?! Quem é a Laplace de uma função vezes e x ? Se liga nesse teorema:

L e a t f s = L f s - a

E a transformada deslocada! Como a gente só tem e t , nosso a = 1 , e aí temos

L e t δ t - π ( s ) = L δ t - π s - 1

Nesse caso a função é um Delta de Dirac (ou impulso para os mais íntimos )! A Laplace desse cara é será sempre uma exponencial, nesse caso:

L δ t - π s = L δ π t s = e - π s   →

Para deslocar é só a gente colocar aquele s - 1 no lugar de s :

L δ t - π s - 1 = e - π s - 1 = e π 1 - s

Sacou?

Passo 3

Substituindo cada uma dessas Laplaces...

L y ' ' - 2 L y ' + 5 L y = 2 L e t δ t - π             →

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - 2 s Y s - y 0 + 5 Y s = 2 e π 1 - s             →

Bem como substituindo também os valores iniciais ( y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ):

s 2 Y s - 2 s Y s + 5 Y s = 2 e π 1 - s             →

E agora isolando Y s no lado esquerdo...

Y s s 2 - 2 s + 5 = 2 e π 1 - s             →

Y s = 2 e π 1 - s s 2 - 2 s + 5

O que precisamos fazer agora? Aplicar Laplace inverso em todo mundo e ver qual é a resposta no tempo, já que   L - 1 Y s = y t !

L - 1 Y s = L - 1 2 e π 1 - s s 2 - 2 s + 5  

Para resolver cada essa Laplace inversa, devemos arrumar esse denominador por meio de completar quadrados, dessa forma aqui:

s 2 - 2 s + 5 = s - b 2 + a 2   →

s 2 - 2 s + 5 = s 2 - 2 b s + b 2 + a 2   →

- 2 b = 2   b 2 + a 2 = 5   →        

Resolvendo esse sisteminha...

b = 1 a = 2

Então o denominador organizado desse jeito, podemos substituir...

s 2 - 2 s + 5 = s - b 2 + a 2 = s - 1 2 + 2 2

y t = L - 1 2 e π 1 - s s - 1 2 + 2 2

E sem mais delongas devemos buscar quem é a Laplace disso aí. Bora!

Passo 4

Vamos reescrever:

L - 1 2 e - π s - 1 s - 1 2 + 2 2 = L - 1 2 s - 1 2 + 2 2 e - π s - 1

Como

L - 1 a s 2 + a 2 = s e n a t

Aquele termo em fração vai nos dá s e n ( 2 t ) , mas percebe que o s ali na tranformada está deslocado uma unidade, então a gente multiplica a inversa por e t .

Mas repara também que por causa daquele e - π s - 1 , precisamos colocar uma função degrau em π , u π t , e deslocar t   no seno em π unidades.

s e n 2 t → s e n 2 t - π

Aí nossa continha final fica assim:

L - 1 2 s - 1 2 + 2 2 e - π s - 1 = u π t   s e n 2 t - π   e t

E isso é igual a y t , então é a nossa solução

y t = u π t   s e n 2 t - π   e t

Resposta

y t = u π t   s e n 2 t - π   e t

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