Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Questão 2: Considere a equação diferencial de segunda ordem. Homogênea,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

B - Encontre a solução do problema de valor inicial,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 2 δ t - π ,     y 0 = y ' 0 = 0

Passo 1

Podemos resolver esse problema utilizando o nosso amigo Laplace:

L y ' ' - 2 y ' + 5 y = L 2 δ t - π   →

Vamos aplicar Laplace separadamente em cada uma dessas igualdades! Partiu?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o Laplace do lado direito:

L y ' ' - 2 y ' + 5 y = L y ' ' - 2 L y ' + 5 L y     →

Ora, o Laplace das derivadas é dessa forma aqui:

L y ' ' - 2 y ' + 5 y = s 2 Y s - y ' 0 - s y 0 - 2 s Y s - y 0 + 5 Y s     →

Substituindo as condições iniciais:

L y ' ' - 2 y ' + 5 y = s 2 Y s - 2 s Y s + 5 Y s →

L y ' ' - 2 y ' + 5 y = Y s s 2 - 2 s + 5

Passo 3

Agora vamos para o Laplace do Lado esquerdo...

L 2 δ t - π   →

De acordo com Teoria, o Laplace de uma função delta de Dirac é...

L 2 δ t - π = 2 e - π s

Passo 4

Igualando então as duas coisas...

L y ' ' - 2 y ' + 5 y = L 2 δ t - π   →

Y s s 2 - 2 s + 5 = 2 e - π s   →

Y s = 2 e - π s s 2 - 2 s + 5

Agora é só aplicar Laplace inverso...

L - 1 Y s = 2 L - 1 e - π s s 2 - 2 s + 5   →

y t = L - 1 e - π s 2 s - 1 2 + 2 2   →

Lembrando que o Laplace de uma função degrau vezes uma função que conhecemos a transformada é...

L u a f t - a = e - a s F s →

L u π f t - π = e - π s F s →

No nosso caso...

F s = 2 s - 1 2 + 2 2       →         f t = e t sin ⁡ 2 t

Então...

L u π f t - π = e - π s F s →

L u π e t - π sin ⁡ 2 t - π = e - π s 2 s - 1 2 + 2 2

Logo, podemos concluir que a solução da nossa EDO é...

y t = u π e t - π sin ⁡ 2 t - π

Resposta

y t = u π e t - π sin ⁡ 2 t - π

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