Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 185, exercício 8 adaptado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

y ' ' + 2 y ' + y = δ t - δ t - 2

y 0 = 2

y ' 0 = 2

Passo 1

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:

L y ' ' + 2 y ' + y ( s ) = L δ t - δ t - 2 s

L y ' ' s + 2 L y ' s + L y s = L δ t ( s ) - L δ t - 2 s

Precisamos lembrar da transformada do Delta de Dirac

L δ t - a s = e - a s

Temos o seguinte:

L δ t s = 1

L δ t - 2 s = e - 2 s

Aplicando aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Aplicando mais uma propriedade da Transformada de Laplace:

L y ' s = s L y s - y ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + 2 s L y s - y 0 + L y s = 1 - e - 2 s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar L y ( s ) . Temos y 0 = 2 e y ' 0 = 2 .

s 2 L y s - 2 s - 2 + 2 s L y s - 4 + L y s = 1 - e - 2 s

s 2 + 2 s + 1 L y s = 7 - e - 2 s + 2 s

L y s = 7 + 2 s s 2 + 2 s + 1 - e - 2 s s 2 + 2 s + 1

Vamos fazer a transformada de cada uma dessas parcelas

L y s = L f 1 s - L f 2 s

Onde

L f 1 s = 7 + 2 s s 2 + 2 s + 1

L f 2 s = e - 2 s s 2 + 2 s + 1

Passo 3

Vamos começar fazendo a transformada inversa de f 1

L f 1 s = 7 + 2 s s 2 + 2 s + 1

Vamos começar fatorando o denominador. Repara que ele e um trinômio quadrado perfeito, então teremos:

L f 1 s = 7 + 2 s s + 1 2

Podemos reescrever o numerador da seguinte forma

7 + 2 s = 5 + 2 + 2 s = 5 + 2 s + 1

Fazemos isso para simplificar a nossa conta na transformada de Laplace

L f 1 s = 5 + 2 s + 1 s + 1 2

L f 1 s = 5 s + 1 2 + 2 s + 1 s + 1 2

L f 1 s = 5 s + 1 2 + 2 s + 1

Para cada uma dessas transformadas vamos precisar usar a seguinte transformada da nossa tabela

L t n = n ! s n

Isso porque temos duas potências na nossa transformada de Laplace, uma com n = 1 e outra com n = 0 , assim vamos usar

L t = 1 s 2

E

L 1 = 1 s

Repara que em vez de s temos s + 1 no denominador, para resolvermos esse problema precisamos usar

L e a t f t s = L f t s - a

Como temos s + 1 , devemos ter

a = - 1

Assim, a nossa transformada fica

L f 1 s = 5 L t e - t + 2 L 1 . e - t

E a nossa função f 1 será

f 1 = 5 t e - t + 2 e - t

Passo 4

Agora vamos para a transformada de f 2

L f 2 s = e - 2 s s 2 + 2 s + 1

Fatorando o denominador igual fizemos no passo anterior, vamos ter:

L f 2 s = e - 2 s s + 1 2

Temos, como vimos no passo anterior:

1 s + 1 2 = L t e - t ( s )

Portanto

L f 2 s = e - 2 s L t e - t ( s )

Certo, agora como temos uma exponencial “fora” de L , vamos aplicar a seguinte fórmula:

L u c t f t - c s = e - c s L f t ( s )

Para o nosso problema:

L u 2 t f t - 2 s = e - 2 s L t e - t ( s )

Agora precisamos encontrar f t - 2 . Temos:

f t = t e - t

f t - 2 = t - 2 e - t - 2

f t - 2 = t - 2 e - t + 2

Ou seja: L u 2 t t - 2 e - t + 2 s = e - 2 s L t e - t ( s )

Substituindo na expressão de L [ f 2 ] , temos:

L f 2 s = L u 2 t t - 2 e - t + 2 s

Portanto, podemos escrever:

f 2 = u 2 t t - 2 e - t + 2

Passo 5

Voltando para nossa transformada de Laplace de y

L y s = L f 1 s - L f 2 s

Achamos f 1 e f 2 nos passos anteriores, então

L y s = L 5 t e - t + 2 e - t s - L u 2 t t - 2 e - t + 2 s

Finalmente achamos o valor de y

y = 5 t e - t + 2 e - t - u 2 t t - 2 e - t + 2

Resposta

y = 5 t e - t + 2 e - t - u 2 t t - 2 e - t + 2

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