Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Delta de Dirac

Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 2 δ t - π

Onde y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

Passo 1

Vamos reconhecer cada termo da equação e suas Transformadas de Laplace. No lado esquerdo, temos:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' = s Y s - y ( 0 )

L y = Y s

No lado direito, temos uma função impulso:

L δ ( t ) = 1

Como o impulso está deslocado, segue da propriedade de deslocamento no tempo:

L δ ( t - t 0 ) = e - s t 0

Como t 0 = π :

L δ ( t - π ) = e - s π

Logo:

L 2 δ ( t - π ) = 2 e - s π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, substituímos os valores iniciais dados: y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

L y ' ' = s 2 Y s - s

L y ' = s Y s - 1

L y = Y s

E, de volta à equação, temos:

s 2 Y s - s + 2 s Y ( s - 1 ] + 5 Y ( s ) = 2 e - s π

Passo 3

Vamos isolar Y ( s ) para tentar resolver a equação acima.

s 2 Y s - s + 2 s Y ( s ) - 2 + 5 Y ( s ) = 2 e - s π

Y s s 2 + 2 s + 5 = s + 2 + 2 e - s π

Y s = s + 2 s 2 + 2 s + 5 + 2 e - s π s 2 + 2 s + 5

Passo 4

Agora reescrevemos o denominador como s 2 + 2 s + 5 = s + 1 2 + 4 .

Pareceu mágica? Calma, você já vai ver porque fizemos isso.

Y s = s + 2 s + 1 2 + 4 + 2 e - s π s + 1 2 + 4

E ainda dá pra reescrever assim, olha:

Y s = s + 1 s + 1 2 + 4 + 1 s + 1 2 + 4 + 2 s + 1 2 + 4 . e - s π

Passo 5

Então basta encontrar os pares de transformada dos termos que achamos.

Como

L e - a t c o s ⁡ ( ω t ) = s + a s + a 2 + ω 2

Identificamos a = 1 e ω = 2 :

L e - t c o s ⁡ ( 2 t ) = s + 1 s + 1 2 + 2 2

Além disso,

L e - a t s e n ⁡ ( ω t ) = ω s + a 2 + ω 2

Logo,

L e - t s e n ⁡ ( 2 t ) = 2 s + 1 2 + 2 2

L 1 2 e - t s e n ⁡ ( 2 t ) = 1 s + 1 2 + 2 2

Já o terceiro termo é igual ao segundo, multiplicado por uma exponencial e um fator 2 . Essa exponencial introduz um deslocamento no tempo, lembra?

L x ( t - t 0 ) = e - s t 0 X ( s )

Como t 0 = π e x t = e - t s e n ⁡ ( 2 t ) neste caso, segue que

L e - ( t - π ) s e n ⁡ ( 2 ( t - π ) ) = 2 s + 1 2 + 2 2 . e - s π

Mas cuidado, essa função só é diferente de zero para t ≥ π . Podemos escrevê-la como

e - ( t - π ) sen ⁡ 2 t - π u π ( t )

Passo 6

Vamos aplicar os pares acima para tomar a transformada inversa da equação.

Y s = s + 1 s + 1 2 + 4 + 1 s + 1 2 + 4 + 2 s + 1 2 + 4 . e - s π

E, assim, obtemos:

y t = e - t cos ⁡ 2 t + 1 2 e - t sen ⁡ 2 t + e - ( t - π ) s e n ⁡ ( 2 ( t - π ) ) u π ( t )

Resposta

y t = e - t cos ⁡ 2 t + 1 2 e - t sen ⁡ 2 t + e - ( t - π ) s e n ⁡ ( 2 ( t - π ) ) u π ( t )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas