Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Delta de Dirac

Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:

y ' ' + y = u π 2 t + 3 δ t - 3 π 2

y 0 =   y ' 0 = 0

Passo 1

Pronto, misturamos tudo! PVI, Laplace, Degrau e Impulso. Mãos à obra, agora!

Reconhecendo cada termo da equação e suas transformadas, começamos pelo lado esquerdo:

L y = Y s

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Como y 0 =   y ' 0 = 0 , segue que

L y ' ' = s 2 Y s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No lado direito, temos uma função degrau

L u π 2 t = e - π 2 s s

E uma função impulso:

L 3 δ ( t - 3 π 2 ) = 3 e - 3 π 2 s

Passo 3

E, de volta à equação, temos:

y ' ' + y = u π 2 t + 3 δ t - 3 π 2

L y ' ' + y = L u π 2 t + 3 δ t - 3 π 2

L y ' ' + L y = L u π 2 t + L 3 δ t - 3 π 2

Substituindo o que obtemos:

s 2 Y s + Y s = e - π 2 s s + 3 e - 3 π 2 s

Y s s 2 + 1 = e - π 2 s s + 3 e - 3 π 2 s

Y s = e - π 2 s s + 3 e - 3 π 2 s s 2 + 1

Passo 4

Agora vamos com calma para não ter erro, beleza?

Separe os termos:

Y s = e - π 2 s s ( s 2 + 1 ) + 3 e - 3 π 2 s s 2 + 1

E jogue as exponenciais pro lado, para deixar as frações livres:

Y s = 1 s ( s 2 + 1 ) . e - π 2 s + 3 s 2 + 1 . e - 3 π 2 s

Aí você pode me perguntar: por que eu joguei as exponenciais pra direita? Daí eu te respondo: porque uma exponencial é um atraso no tempo (já que pintou um s ali dentro). Percebeu?

Passo 5

Ótimo! Agora vamos abrir a expressão em frações parciais:

1 s ( s 2 + 1 ) = A s + B s + C s 2 + 1

Multiplicando cruzado no lado direito:

A s + B s + C s 2 + 1 = A s 2 + A + ( B s 2 + C s ) s ( s 2 + 1 )

A s + B s + C s 2 + 1 = A + B s 2 + C s + A s ( s 2 + 1 )

Perfeito, agora é só comparar termo a termo dos numeradores:

A + B s 2 + C s + A = 1

Logo:

A + B = 0 C = 0 A = 1

E, portanto, B = - 1 :

1 s ( s 2 + 1 ) = 1 s - s s 2 + 1

Passo 6

De volta à transformada de Y ( s ) :

Y s = 1 s - s s 2 + 1 . e - π 2 s + 3 s 2 + 1 . e - 3 π 2 s

E, finalmente, reconhecemos as transformadas inversas para obter y t = L - 1 { Y ( s ) } .

L - 1 1 s = 1

L - 1 s s 2 + 1 = cos ⁡ t

Combinando ambas e adicionando o atraso:

L - 1 1 s - s s 2 + 1 . e - π 2 s = 1 - cos ⁡ t - π 2 u π 2  

Para a última parcela

L - 1 3 s 2 + 1 = 3   s e n   t

Com o atraso:

L - 1 3 s 2 + 1 . e - 3 π 2 s = 3   s e n   t - 3 π 2 u 3 π 2

Passo 7

E, assim, obtemos a função y ( t ) combinando os resultados.

y t = 1 - cos ⁡ t - π 2 u π 2 + 3   s e n   t - 3 π 2 u 3 π 2

Resposta

y t = 1 - cos ⁡ t - π 2 u π 2 + 3   s e n   t - 3 π 2 u 3 π 2

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