Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Resolva o problema de valor inicial

y "   +   2 y '   +   2 y   =   c o s ⁡ ( t ) u π ( t ) , y 0 = 1 ,   y ' 0 = - 1

Onde u π ( t ) é a função de degrau unitário com t = π

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:

Vamos olhar a transformada de cada um:

- A transformada de y é dada por

L y = F ( s )

- A transformada da derivada é dada por

L y ' = s F s - y 0

Usando as condições iniciais

L y ' = s F s - 1

- A transformada da derivada segunda é dada por

L y ' ' = s 2 F s - s y 0 - y ' ( 0 )

Usando as condições iniciais

L y ' ' = s 2 F s - s + 1

- E a transformada do lado direito da equação, a gente faz assim

L cos ⁡ t u π t = - L cos ⁡ t - π u π t

Onde eu usei a propriedade marota de

cos ⁡ t = - c o s ⁡ ( t - π )

Assim, lembrando que:

L   u a t f t - a =   e - a s L f ( t )

L cos ⁡ a t =   s s 2 + a 2  

Temos então que

L cos ⁡ t u π t = e - π t L cos ⁡ t = e - π t s s 2 + 1

Nossa EDO vai ficar então com essa cara:

s 2 F s - s + 1 + 2 s F s - 1 + 2 F s = - e - π s s s 2 + 1

Agora temos que isolar F ( s )

F s s 2 + 2 s + 2 = s + 1 - e - π t s s 2 + 1

Aí fica esse negócião aí

F s =   1 s 2   + 2 s + 2   s + 1 - e - π s s s 2 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:

F s =   1 s 2   + 2 s + 2   - e - π s s s 2 + 1 + s + 1

Antes saca isso aqui: s 2   + 2 s + 2 = s 2   + 2 s + 1 + 1 = s + 1 2 + 1 .

O nosso F ( s ) fica então

F s = - e - π s s s + 1 2 + 1 s 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

Um pouco mais simpático, concorda?

Agora vamos deixar esse primeiro termo bonitão usando frações parciais

  s [ s + 1 2 + 1 ] ( s 2 + 1 ) =   A s + B [ s + 1 2 + 1 ] +   C s + D s 2 + 1

s [ s + 1 2 + 1 ] ( s 2 + 1 ) = A s s 2 + 1 + B s 2 + 1 + C s [ s + 1 2 + 1 ] + D [ s + 1 2 + 1 ] [ s + 1 2 + 1 ] ( s 2 + 1 )

Agora dá aquela esticada. Olha pra esquerda, pra direita.... respirou? Agora vamo que vamo cair de cabeça nessa conta!

Agora a gente tem que juntar todos os termos com mesma potência de s ! O numerador dessa fraçãozona vai ser

s 3 A + C + s 2 B + 2 C + D + s A + 2 C + 2 D + B + 2 D

Olhando para o lado esquerdo da equação anterior, o termo que multiplica s será 1 e todos os outros termos serão 0

Então a gente acaba com o seguinte sistema

A + C = 0 B + 2 C + D = 0 A + 2 C + 2 D = 1 B + 2 D = 0

Esse sistema é molezinha de resolver (depois dessa contarada, um descanso!). Só presta atenção para não dar bobeira, hein!

Os valores da dessas constantes são

A = - 1 5 B = - 4 5 C = 1 5 D = 2 5

Assim o nosso F s fica

F s = - e - π s - 1 5 s - 4 5 [ s + 1 2 + 1 ] +   1 5 s + 2 5 s 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

F s = e - π s 5 s + 4 [ s + 1 2 + 1 ] -   s + 2 s 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

E aí, achou mais simpático?

Passo 3

Beleza! Agora temos que calcular as transformadas inversas

- A primeira fica

L - 1 e - π s 5 s + 4 s + 1 2 + 1

Aqui temos que lembrar que

L   u a t f t - a =   e - a s L f ( t )

L - 1 e - π s 5 s + 4 s + 1 2 + 1 = u π t 5 L - 1 s + 4 s + 1 2 + 1

L - 1 e - π s 5 s + 4 s + 1 2 + 1 = u π t 5 L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 + 3 L - 1 1 s + 1 2 + 1

E agora podemos usar as transformadas

L e a t s e n b t = b s - a 2 + b 2

e

L e a t c o s b t = ( s - a ) s - a 2 + b 2

Finalmente chegamos em (lembrando de trocar t ��� t - π no argumento das funções, por causa da função degrau, u π ( t ) )

L - 1 e - π s 5 s + 4 s + 1 2 + 1 = u π t 5 e - t cos ⁡ t - π + 3 e - t s e n t - π

Deixando bonitinho

L - 1 e - π s 5 s + 4 s + 1 2 + 1 = u π t e - t - π 5 cos ⁡ t - π + 3 s e n t - π

Passo 4

- A segunda fica

- L - 1 e - π s 5 s + 2 s 2 + 1

De novo usamos que

L   u a t f t - a =   e - a s L f ( t )

- L - 1 e - π s 5 s + 2 s 2 + 1 = - u π t 5 L - 1 s + 2 s 2 + 1

- L - 1 e - π s 5 s + 2 s 2 + 1 = - u π t 5 L - 1 s s 2 + 1 + 2 L - 1 1 s 2 + 1

Do lado direito da equação o primeiro termo é a primeira transformada de c o s ⁡ ( t ) e o segundo a transformada de s e n ( t )

(lembrando de trocar t → t - π no argumento das funções, por causa da função degrau, u π ( t ) )

- L - 1 e - π s 5 s + 2 s 2 + 1 = - u π t 5 cos ⁡ t - π + 2 s e n t - π

Passo 5

- Já o terceiro termo fica

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1

Para resolver esse cara basta lembrar que

L e a t c o s b t = ( s - a ) s - a 2 + b 2

Assim

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t c o s ⁡ ( t )

Ufa! Agora é só juntar tudo

Passo 6

y t = L - 1 F s

y ( t ) = L - 1 e - π s 5 s + 4 s + 1 2 + 1 - L - 1 e - π s 5 - s + 2 s 2 + 1 + L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1

y t = u π t 5 e - t - π cos ⁡ t - π + 3 e - t - π s e n t - π - u π t 5 cos ⁡ t - π + 2 s e n t - π + e - t cos ⁡ t

Aí fica essa coisa pequeninha aí rsrsrs

y t = u π t 5 e - t - π cos ⁡ t - π + 3 e - t - π s e n t - π - cos ⁡ t - π - 2 s e n t - π + e - t cos ⁡ t

Resposta

y t = u π t 5 e - t - π cos ⁡ t - π + 3 e - t - π s e n t - π - cos ⁡ t - π - 2 s e n t - π + e - t cos ⁡ t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas