Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial

y "   +   2 y '   +   3 y   =   e t +   δ ( t - 1 ) e 2 t ,  

y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 1 ,

onde δ t - 1 é a “função” delta de Dirac com singularidade em 1.

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:

- Transformada de y a gente define como

L y = F ( s )

- Transformada de y '

L y ' = s F s - y ( 0 )

Usando as condições iniciais y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

L y ' = s F s

- Transformada de y ' '

L y ' ' = s 2 F ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Usando as condições iniciais y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

L y ' ' = s 2 F s - s 0 - 1

L y ' ' = s 2 F s - 1

- Transformada de e t

Temo que usar

L e a t = 1 s - a

Assim

L e t = L e 1 t = 1 s - 1

- Transformada de δ t - 1 e 2 t

L δ t - 1 e 2 t = �� ∫ 0 ∞ δ t - 1 e 2 t e - s t d t = e 2 e - s

L δ t - 1 e 2 t = e 2 - s

Nossa EDO vai ficar então com essa cara:

s 2   F s - 1 + 2 s F s + 3 F s = 1 s - 1 + e 2 - s

Isolando o F ( s )

F s = 1 s 2 + 2 s + 3   1 +   1 s - 1 +   e 2 - s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:

F s =   1 s 2   + 2 s + 3     1 +   1 s - 1 +   e 2 - s

Antes saca isso aqui: s 2   + 2 s + 3 = s + 1 2 + 2 . Vamos arrumar melhor as expressões para ficarem mais simpáticas

F s = 1 s + 1 2 + 2   1 +   1 s - 1 +   e 2 - s

Temos, então, três termos na nossa transformada

F s =   1 s + 1 2 + 2 +   e 2 - s s + 1 2 + 2 +   1 s + 1 2 + 2 s - 1

Passo 3

Na transformada do primeiro termo a gente tem que fazer essa jogada aqui

1 s 2   + 2 s + 3 = 1 2   2   s + 1 2 + 2

Pra poder usar a transformada do seno

L s e n a t = a s 2 + a 2

Sendo que ela tá transladada

L - 1   1   s + 1 2 + 2 = L - 1 1 2   2   s + 1 2 + 2

L - 1 1   s + 1 2 + 2 = 1 2 e - t s e n ( 2 t )  

Passo 4

Vamos olhar a transformada do segundo termo.

Separando a constante e 2 e fazendo o mesmo macete de multiplicar e dividir por 2

L - 1 e 2 - s s + 1 2 + 2 = e 2 2 L - 1 e - s 2 s + 1 2 + 2

Essa última transformada é igual ao do passo anterior só que o resultado é multiplicado pela função degrau u 1 .

L - 1 e 2 - s s + 1 2 + 2 = e 2 2 u 1 e - t - 1 s e n 2 t - 1

Passo 5

A transformada inversa do terceiro termo é

L - 1 1 s + 1 2 + 2 s - 1

Temos que fazer aquela decomposição marota em frações parciais:

1 s + 1 2 + 2 s - 1 = A s - 1   +   B s + C s + 1 2 + 2

1 s + 1 2 + 2 s - 1 = A s 2 + 2 s + 1 + 2 A + B s 2 - B s + C s - C s + 1 2 + 2 s - 1

1 s + 1 2 + 2 s - 1 = s 2 A + B + s 2 A - B + C + 3 A - C s + 1 2 + 2 s - 1

E a gente cai no seguinte sistema

A + B = 0 2 A - B + C = 0 3 A - C = 1

O resultado pra essas constantes é

A = 1 / 6 B = - 1 / 6 C = - 1 / 2

1 s + 1 2 + 2 s - 1 =   1 6 ( s - 1 ) +   - 1 6 s - 1 2 s + 1 2 + 2

Assim a nossa transformada fica essas três aqui

1 6 L - 1 1 s - 1 - 1 6 L - 1 s s + 1 2 + 2 - 1 2 L - 1 1 s + 1 2 + 2

A primeira é molezinha

L - 1 1 s - 1 = e t

Na segunda a gente tem que somar e subtrair 1 pra conseguir a transformada do cosseno e de graça a gente ganha uma transformada de seno

L - 1 s s + 1 2 + 2 = L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 - L - 1 1 s + 1 2 + 2

Lembrando que na transformada do seno tem aquele pulo do gato de multiplica e dividir por 2

L - 1 s s + 1 2 + 2 = L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 - 1 2 L - 1 2 s + 1 2 + 2

L - 1 s s + 1 2 + 2 = e - t cos ⁡ 2 t - 1 2 e - t s e n 2 t

E a terceira

L - 1 1 s + 1 2 + 2 = 1 2 L - 1 2 s + 1 2 + 2 = 1 2 e - t s e n 2 t

Finalmente

L - 1 1 s + 1 2 + 2 s - 1 = e t 6 - 1 6 e - t cos ⁡ 2 t - 1 2 e - t s e n 2 t - 1 2 2 e - t s e n 2 t

L - 1 1 s + 1 2 + 2 s - 1 = e t 6 - e - t cos ⁡ 2 t 6 - 2 6 e - t s e n 2 t

Passo 6

Agora é só juntar tudo!

y t = L - 1 1 s + 1 2 + 2 + L - 1 e 2 - s s + 1 2 + 2 + L - 1 1 s + 1 2 + 2 s - 1

y t = 1 2 e - t s e n 2 t + e 2 2 u 1 e - t - 1 s e n 2 t - 1 + e t 6 - e - t cos �� 2 t 6 - 2 6 e - t s e n 2 t

Só dando uma simplificadinha pra essa resposta ocupar menos linhas rsrsrs 😉

y t = 2 3 e - t s e n 2 t + e 2 2 u 1 e - t - 1 s e n 2 t - 1 + e t 6 - e - t cos ⁡ 2 t 6

Resposta

y t = 2 3 e - t s e n 2 t + e 2 2 u 1 e - t - 1 s e n 2 t - 1 + e t 6 - e - t cos ⁡ 2 t 6

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